Mẹo Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà khác nhau cho 4 học sinh 2022

by | Feb 14, 2022 | Thủ Thuật Mới | 0 comments

Mục lục bài viết

Mẹo Hướng dẫn Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà rất khác nhau cho 4 học viên Chi Tiết

Cập Nhật: 2022-02-14 19:24:07,Bạn Cần tương hỗ về Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà rất khác nhau cho 4 học viên. Bạn trọn vẹn có thể lại Thảo luận ở phía dưới để Ad được tương hỗ.

761

Có bao nhiêu cách phát 10 món quà rất khác nhau cho 10 học viên, mỗi học viên nhận một món quà

Tóm lược đại ý quan trọng trong bài

  • Có bao nhiêu cách phát 10 món quà rất khác nhau cho 10 học viên, mỗi học viên nhận một món quà
  • Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4bạn học viên vào dãy có 4ghế?
  • Chuyên đề tổng hợp- Xác suất khá đầy đủ những dạng.doc

Đáp án đúng chuẩn

Xem lời giải

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4bạn học viên vào dãy có 4ghế?

A. 8 cách.

B. 12 cách.

C. 24 cách.

Đáp án đúng chuẩn

D. 4 cách.

Xem lời giải

Chuyên đề tổng hợp- Xác suất khá đầy đủ những dạng.doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản khá đầy đủ của tài liệu tại đây (5.19 MB, 40 trang )

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 1

CHƯƠNG 3: TỔ HỢP- SÁC XUẤT
A. TỔ HỢP
I. QUY TẮC ĐẾM
1. Qui tắc cộng:
Một việc làm nào đó trọn vẹn có thể được tiến hành theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu
phương án A có m cách tiến hành, phương án B có n cách tiến hành và không trùng với bất kì
cách nào trong phương án A thì việc làm đó có m + n cách tiến hành.
2. Qui tắc nhân:
Một việc làm nào đó trọn vẹn có thể gồm có hai quy trình A và B. Nếu quy trình A có m cách thực
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách tiến hành quy trình B thì việc làm đó có m.n cách thực
hiện.
BÀI TẬP
Bài 1: ở Việt Nam, mọi học viên đã tốt nghiệp THPT đều phải có quyền tham dự cuộc thi
vào một trong những trường ĐH( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một trường
trung học chuyên nghiệp ( có21 trường ). Hỏi mỗi học viên tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách
chọn trường thi ?
Giải
– có 35 cách chọn trường ĐH
– Có 25 cách chọn trường cao đẳng
– Có 21 cách chọn trường trung học chuyên nghiệp
Khi đã chọn thi trường ĐH thì không chọn trường thi là cao đẳng và chuyên nghiệp, tương tự
với cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, do đó có toàn bộ:
35 + 25 + 21 = 81 cách chọn trường thi
Bài 2:
Để lập hồ sơ thi tuyển vào ĐH, mỗi thí sinh cần tiến hành 2 việc:
– Chọn trường thi có toàn bộ 33 trường
– Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D. Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ?
Giải

Ta thấy có 33 cách lập trường thi và ứng với mỗi cách chọn trường đó, có 4
cách chọn khối để thi.
Do đó, có toàn bộ: 33. 4 =132 cách lập hồ sơ
Bài 3:
Bạn An có 5 bông hoa hồng rất khác nhau, 4 bông hoa cúc rất khác nhau, 3 bông hoa lan rất khác nhau, bạn
cần lựa chọn ra 4 bông để cắm vào một trong những lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa
trong lọ phải có đủ cả loại.
giải:
Bài toán xẩy ra 3 trường hợp.
+Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.
– Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách
– Chọn 1 bông hồng thứ hai có 4 cách
– Chọn 1 bông cúc có 4 cách
– Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.4.3=240 cách (1)
+Trường hợp 2: Chọn 1bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.
– Chọn 1 bông hồng có 5 cách
– Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách
– Chọn 1 bông cúc thứ hai có 3 cách
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 2

– Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.3 = 180 cách (2)
+Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.
– Chọn 1 bông hồng có 5 cách
– Chọn 1 bông cúc có 4 cách
– Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách
– Chọn 1 bông lan thứ hai có 2 cách
Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.2=120 cách (3)

Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: 240+180+120=540 cách
Bài 4:
Từ những chữ số 0,1,2,3,4,5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong những trường hợp sau:
1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số rất khác nhau.
Lời giải:
1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn thị hiếu yêu cầu bài toán là abcd
Chọn chữ số d có 3 cách chọn,
Chọn chữ số a có 5 cách chọn,
Chọn chữ số b có 5 cách chọn,
Chọn chữ số c có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 3.5.5.5=375 (số).
2. Gọi số tự nhiên thỏa ycbt là abcd
– Nếu d=0:
Chọn chữ số d có một cách chọn
Chọn chữ số a có 5 cách chọn
Chọn chữ số b có 4 cách chọn
Chọn chữ số c có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 1.5.4.3=60 (số) (∗)
– Nếu d≠ 0, có 2 cách chọn chữ số d
Chọn chữ số a có 4 cách chọn
Chọn chữ số b có 4 cách chọn
Chọn chữ số c có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 (số) (∗∗)
Từ (∗) và (∗∗) theo Quy tắc cộng ta có 60+96=156 (số)
Bài 5:
Cho những chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số trong những gồm 4 chữ số rất khác nhau từ những chữ số trên . Hỏi:
a. Có bao nhiêu số chẵn
b. Có bao nhiêu số xuất hiện chữ số 1
Lời giải:

a. Gọi số đã cho có dạng : a1a2a3a4 ( a4 là chữ số chẵn)
– Tìm số những số dạng trên kể cả a1=0 :
– a4 có 3 cách chọn , những vị trí còn sót lại sở hữu A37=210 cách chọn nên số những số nầy là :630 số
– Tìm số những số dạng trên mà a1 = 0 :
– a4 có 2 cách chọn , những vị trí còn sót lại sở hữu A26=30 cách chọn nên số những số nầy là: 60 số
Vậy số những số chẵn cần tìm là :630 –60 = 570 số
b. Gọi số đã cho có dạng : a1a2a3a4
– Tìm số những số dạng trên kể cả a1 = 0 :
Chọn vị trí cho chữ số 1 : có 4 cách , những vị trí còn sót lại sở hữu A37=210 cách chọn nên số những số này là
=840 số
– Tìm số những số dạng trên mà a1 # 0 :
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 3

a1 có 3 cách chọn , những vị trí còn sót lại sở hữu A26=30 cách chọn nên số những số nầy là :90 số
Vậy số những số cần tìm là :840 – 90 = 750 số (quy tắc cộng)

Bài 6:
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không tồn tại 2 bạn nữ nào
ngồi cạnh nhau nếu
a. Ghế sắp thành hàng ngang
b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.
Lời giải:
a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7
vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có A47 cách. Vậy có 6!.A47 cách
b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6
vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có A46 cách.
Vậy có 5!. A46 cách sắp xếp.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con phố, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con

đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con phố, từ thành phố C đến thành phố D có 3
con phố. Không có con phố nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có toàn bộ bao nhiêu
lối đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 đường.
Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có
bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy
cách chọn lấy 1 bông hoa?
b) Từ những chữ số 1, 2, 3 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số rất khác nhau có những chữ số rất khác nhau?
ĐS: a) 18. b) 15.
Baøi 4: Một đội văn nghệ sẵn sàng được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ
được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách
chọn chương trình màn biểu diễn, biết rằng chất lượng những vở kịch, điệu múa, những bài hát là như
nhau?
ĐS: 36.
Baøi 5: Một người dân có 7 cái áo trong số đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong số đó có hai cà vạt màu vàng.
Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a) Chọn áo nào thì cũng rất được và cà vạt nào thì cũng rất được?
b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a) 35. b) 29.
Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học viên chuyên tin và 18 học viên chuyên toán. Thành lập một
đoàn gồm hai người sao cho có một học viên chuyên toán và một học viên chuyên tin. Hỏi có
bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài
sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Baøi 8: Với những chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số rất khác nhau.
c) gồm 6 chữ số rất khác nhau và chia hết cho 2.

ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Baøi 9: a) Từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 4

b) Từ những chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong số đó những chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì
giống nhau?
e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000.
Baøi 10: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số:
a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số rất khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
d) Số chẵn gồm 2 chữ số rất khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không tái diễn?
f) Gồm 5 chữ số viết không tái diễn chia hết cho 5?
ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24.
Baøi 11: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a) Khác nhau?
b) Khác nhau, trong số đó có bao nhiêu số to nhiều hơn 300?
c) Khác nhau, trong số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d) Khác nhau, trong số đó có bao nhiêu số chẵn?
e) Khác nhau, trong số đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48.
Baøi 12: a) Từ những số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số rất khác nhau nhỏ
hơn 400?
b) Từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số rất khác nhau nằm trong
khoảng chừng (300 , 500).
ĐS: a) 35. b) 24.

II. HOÁN VỊ
1. Giai thừa:
n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n

!
!
n
p.
= (p.+1).(p.+2)…n (với n>p.)

!
( )!
n
n p.

= (n–p.+1).(n–p.+2)…n (với n>p.)
2. Hoán vị (không lặp):
Một tập hợp gồm n thành phần (n

1). Mỗi cách sắp xếp n thành phần này theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vị của n thành phần.
Số những hoán vị của n thành phần là: P
n
= n!
3. Hoán vị lặp:
Cho k thành phần rất khác nhau: a
1
, a
2

, …, a
k
. Một cách sắp xếp n thành phần trong số đó gồm n
1
thành phần a
1
,
n
2
thành phần a
2
, …, n
k
thành phần a
k
(n
1
+n
2
+ …+ n
k
= n) theo một thứ tự nào này được gọi là một
hoán vị lặp cấp n và kiểu (n
1
, n
2
, …, n
k
) của k thành phần.
Số những hoán vị lặp cấp n, kiểu (n

1
, n
2
, …, n
k
) của k thành phần là:
P
n
(n
1
, n
2
, …, n
k
) =
1 2
!
! ! !
k
n
n n n

4. Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n thành phần. Một cách sắp xếp n thành phần của tập A thành một dãy kín được gọi là
một hoán vị vòng quanh của n thành phần.
Số những hoán vị vòng quanh của n thành phần là: Q.
n
= (n – 1)!
BÀI TẬP
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT

VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 5

Dạng 1. Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối
Bài 1: . Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học viên vào 4 chỗ ngồi trong một bàn học tập viên.
Giải
Số cách sắp xếp 4 học viên vào 4 chỗ ngồi bằng số hoán vị của 4 thành phần
Vậy P
4
= 4! = 1.2.3.4 = 24 cách sắp xếp.

Bài 2: Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một trong những kệ
sách theo từng môn. Tất cả những quyển sách đều rất khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Giải
Có 4 loại sách, do đó có 4! Cách sắp xếp theo môn.
ở mỗi loại sách có: 3! Cách sắp xếp sách toán.
4! Cách sắp xếp sách lý
2! Cách sắp xếp sách hoá
5! Cách sắp xếp sách sinh
Vậy có toàn bộ: 4!. 3!. 4!. 2!. 5! = 829440 cách sắp xếp.
Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong số đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành
hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.
Giải.
Ghép An và Bình thành một thành phần M có 2! cách. Xếp 9 thành phần(gồm 8 bạn còn sót lại và thành phần M)
vào 9 vị trí có 9! Cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách.

Bài 4: Xét những số tự nhiên gồm 5 chữ số rất khác nhau lập từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong những số
đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không khởi đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Không khởi đầu bằng 345?
ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Bài 5. Xét những số tự nhiên gồm 5 chữ số rất khác nhau được lập từ những số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong những số
đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bởi chữ số 9? b) Không khởi đầu bởi chữ số 1?
c) Bắt đầu bởi 19? d) Không khởi đầu bởi 135?
ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118
Bài 6. Một tổ có 10 học viên. Có bao nhiêu cách:
a. Xếp thành 1 hàng dọc.
b. Ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế.
Giải
a. Số cách xếp 10 học viên thành 1 hàng dọc là 10!.
b. Người thứ nhất có một cách chọn, không kể vị trí vì ngồi ở đâu cũng tương tự như nhau.
Khi người thứ nhất đã ngồi thì 9 vị trí còn sót lại cho 9 người ngồi, có 9!
Vậy có một.9! = 9!
Bài 7. Cho 5 quả cầu white color rất khác nhau và 4 quả cầu xanh rất khác nhau. Ta sắp xếp 9 quả cầu đó
vào một trong những hàng 9 chỗ cho trước.
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp rất khác nhau?
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho hai quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu?
c. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 quả cầu trắng đứng cạnh nhau.
Giải
a. Có 9! = 362880 cách
b. Gọi những vị trí cần sắp xếp là 123456789.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 6

Vì có 5 quả cầu white color, 4 quả cầu màu xanh nên những vị trí số 1, 3, 5, 7, 9 là những quả cầu trắng,
những vị trí 2, 4, 6, 8 là những quả cầu màu xanh
Để sắp xếp 5 quả cầu trắng có 5! cách.
Để sắp xếp 4 quả cầu xanh có 4! cách
Vậy có 5!4! = 2880 cách

c. Ta gọi 5 quả cầu trắng là vị trí a, như vậy với 9 vị trí như trên thì có 4 vị trí số và 1 vị trí a.
Xếp 5 quả cầu trắng vào vị trí a có 5! cách.
Xếp 4 quả cầu xanh vào những vị trí số là 4!.
Có 5 những chọn vị trí a
Vậy có 5.5!4! = 14400 cách.
Bài 8. Từ những chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một rất khác nhau
và chia hết cho 9.
Giải
Gọi số có 3 chữ số và chia hết cho 9 là số abc, với a + b +c

9
Vậy a, b, c = 0, 4, 5, 1, 3, 5, 2, 3, 4
Với tập 0, 4, 5 có 2.2.1 = 4 số
Với những tập1, 3, 5 và 2, 3, 4, mỗi tập có 3! Số
Vậy có 4 + 2.3! = 16 số.

Dạng 2. tính toán
Baøi 1: Rút gọn những biểu thức sau:
A =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 

 
 
B =
2011! 2009
.
2010! 2009! 2011

C =
5! ( 1)!
.
( 1) ( 1)!3!
m
m m m

 

D =
2
7! ( 2)!
.
( ) 4!( 1)!
m
m m m

 
E =
1
. !
n
k
k k


F =
2
1
!

n
k
k
k


A =
6! 1 ( 1)! .( 1)!
. .
( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!
m m m
m m m m m m
 
 

 
     
 
(với m  5)
Baøi 2: Chứng minh rằng:
a)
–1 –1
– ( –1)
n n n
P P n P

b)
1 2 2 1

( 1) ( 2) 2 1
n n n
P n P n P P P
 
       

c)
2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
 
 
d)
1 1 1 1
1 3
1! 2! 3! !
n
     

e)
1
! 2
n
n

Baøi 3: Giải những bất phương trình sau:

a)
1 5 ( 1)! .( 1)!
. 5
2 1 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!
n n n
n n n n n
 
 
 
 
    
 
b)
4 ! ( 1)! 50
n n
   

c)
3
!
10
( 2)!
n
n
n
 

ĐS: a)

( 1)
5
6
n n


n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3
Baøi 4: Giải những phương trình sau:
a)
2
2 3
. – . 8
P x P x

b)
1
1
1
6
x x
x
P P
P



c)
( 1)!
72
( 1)!
n
n


GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 7

d)
! !
3
( 2)! ( 1)!
n n
n n
 
 
e)
!
( 3)!
20
n
n
n
 
f)

3
!
10
( 2)!
n
n
n
 

ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8
d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2
III. CHỈNH HỢP
1. Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n thành phần. Mỗi cách sắp xếp k thành phần của A (1

k

n) theo một thứ tự
nào này được gọi là một chỉnh hợp chập k của n thành phần của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n thành phần:
!
( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
     


Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.


Khi k = n thì
n
n
A
= P
n
= n!
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n thành phần. Một dãy gồm k thành phần của A, trong số đó mỗi thành phần trọn vẹn có thể được lặp
lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của
n thành phần của tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n thành phần:
k k
n
A n

BÀI TẬP
DẠNG 1: Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối
Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không tồn tại 2 bạn
nữ nào ngồi cạnh nhau nếu
a. Ghế sắp thành hàng ngang
b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.

Giải
a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7
vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có
4
7
A
cách. Vậy có 6!.
4
7
A
cách
b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6
vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có
4
6
A
cách.
Vậy có 5!.
4
6
A
cách sắp xếp.

Bài 2: ( ĐHQG Hồ Chí Minh – 99) Với những số 1,2,5,7,8 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số gồm 3
chữ số phân biệt thoả mãn Đk:
a. Là 1 số ít chẵn. b. Là 1 số ít nhỏ hơn hoặc bằng 278.
c. Là 1 số ít chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
Giải
Cách 1: Đặt E = 1,2,5,7,8 .
Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số là

n

1 2 3
a a a
(
1
0
a

)
a. Do
n
chẵn nên a
3


2,8

a
3
có 2 cách chọn
a
1


E a
3


a

1
có 4 cách chọn
a
2


E a
1
,a
3


a
2
có 3 cách chọn
Vậy: có 2.3.4 = 24 cách chọn hay có 24 số.
Cách 2: a. Do
n
chẵn nên a
3


2,8

a
3
có 2 cách chọn
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 8

a
1
, a
2
là một trong những bộ phận biết thứ tự được chen từ Ea
3
do đó nó là một chỉnh hợp chập 2

2
4
A

cách chọn.
Theo qui tắc nhân, số những số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tâp E bằng 2.
2
4
A
=
24 (số).
b. Do
n
nhỏ hơn 278 nên a
1


1;2.
Trường hợp 1: Nếu a
1
= 1 thì a
2


Ea
1


a
2
có 4 cách chọn
a
3


E a
1
,a
2


a
3
có 3 cách chọn


có một.4.3 = 12 cách chọn .
Trường hợp 2: nếu a
1
= 2 thì a
2


E2,8

a
2
có 3 cách chọn
a
3


E a
1
,a
2


a
3
có 3 cách chọn


có một.3.3 = 9 cách chọn .
Vậy: có 12 + 9 = 21 cách chọn số có 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn 278. Tức là có 21 số thoả
mãn ycbt
c. Do
n
chẵn nên a
3

2,8 và số cần tìm nhỏ hơn 278 nên a
1


2.
Trường hợp 1: nếu a
1
= 2

a
1
có một cách chọn
a
3


2,8

a
3
có 2 cách chọn
a
2


E a
1
,a
3


a
2
có 3 cách chọn


có một.2.3 = 6 cách chọn .
Trường hợp 2: nếu a
1
= 2

a
1
có một cách chọn
a
3


2,8a
1


a
3
có một cách chọn
a
2


E a

1
,a
3


a
2
có 3 cách chọn


có một.1.3 = 3 cách chọn .
Vậy: có 6 + 3 = 9 cách chọn số tự nhiên chẵn gồm những chữ số rất khác nhau và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
Tức là có 9 số thoả mãn ycbt.
Bài 3:
Với tập E=1,2,3,4,5,6,7 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và :
a) Là số chẵn.
b) Trong số đó có chữ số 7.
c) Trong số đó có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
Lời giải:
a) Sử dụng kiến thức và kỹ năng về hoán vị :
* a5 được chọn từ tập F=2,4,6 ⇒ Có 3 cách chọn.
* a1,a2,a3,a4 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ Ea5 do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của
6
⇒ Có A46 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số những số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt , hình thành từ tập E bằng :
3.A46=1080 số.
b) Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của những chữ số để tại vị chữ số 7
⇒ có 5 cách chọn
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 9

Bốn vị trí còn sót lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E7 do đó nó là một chỉnh
hợp chập 4 của 6
⇒ Có A46 cách chọn.
Vây, số những số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong số đó có chữ số 7, bằng :
⇒ 5.A46=1800 số.
c) Gán a2=1⇒ Có một cách chọn
Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí của những chữ số để tại vị chữ số 7 ⇒ Có 4 cách chọn.
Ba vị trí còn sót lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E7,1 do đó nó là một chỉnh
hợp chập 3 của 5
⇒ có A35 cách chọn.
Vậy, số những số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong số đó có chữ số 7 và chữ số hàng
ngàn là chữ số 1, bằng :
1.4.A35=240 số.
Bài 4: với những chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu:
a. Số lẻ gồm 4 chữ số rất khác nhau.
b. Số chẵn gồm 4 chữ số rất khác nhau:
Giải
Gọi số có 4 chữ số là abcd
a. Số cần lập là số lẻ nên:
Có 3 cách chọn số d.
Có 4 cách chọn số a.
Có
2
4
A
cách chọn số bc
Vậy có: 3. 4 .
2
4

A
= 144 số.
b. Số cần lập là số chẵn:
Trường hợp 1: d = 0
 Số cách lập được số có 4 chữ số với d = 0 là
3
5
A

Trường hợp d  0
Có 2 cách chọn số d.
Có 4 cách chọn số a
Có
2
4
A
cách chọn bc
 có 2.4.
2
4
A
= 96 số.
Vậy có
3
5
A
+ 96 = 156 số.
Bài 5. Có bao nhiêu số có 6 chữ số rất khác nhau mà xuất hiện của chữ số 0 và chữ số 9.
Giải
Gọi số cần lập là A = a

1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

Trường hợp a
1
= 9  9 a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

Có 5 vị trí chọn số 0
4 vị trí còn sót lại chọn 4 trong 8 số còn sót lại  có
4
8
A

 5.
4
8
A

Trường hợp a
1
 9, a
2
= 9  a
1
9a
3
a
4
a
5
a
6

Số 0 có 4 vị trí
4 vị trí còn sót lại sở hữu
4
8
A
cách chọn.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 10

 4.
4
8
A

Vì số 9 ở vị trí a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
là như sau nên ta có 5.4.
4
8
A
số
Vậy có . 5.
4
8
A
+ 5.4.
4
8
A
= 42000 số.
Bài 6. Từ những chữ số từ là một trong những đến 9, lập những số tự nhiên có 9 chữ số rất khác nhau, có bao nhiêu số:

a. Chia hết cho 5. b. Số 9 đứng ở ở chính giữa.
Giải
a. số những số chia hết cho 5 là:
8
8
A
= 40320 số.
b. Chữ số 9 ở ở chính giữa thì có một cách chọn, 8 vị trí còn sót lại cho 8 số
 số những số thoả mãn yêu cầu là
8
8
A
= 40320 số
Bài 7. Từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số rất khác nhau, có bao nhiêu số bé
hơn 345
Giải
Gọi số cần lập là
abc
, vì
abc
< 345 nên ta có những trường hợp:
Trường hợp 1: a  3
a trọn vẹn có thể là một trong những hoặc 2  có 2 cách chọn a.
bc
chọn trong 5 số  có
2
5
A

 có 2.

2
5
A
= 40 số.
Trường hợp a = 3, vì
3bc
< 345
Nếu b = 1, 2, thì b có 2 cách chọn
Chữ số c có 4 cách chọn.
 2.4 = 8 cách chọn.
Nếu b = 4 thì có 2 cách chọn c  có 2 số.
 có 2 + 8 = 10 số.
Vậy có 10 + 40 = 50 số cần lập
Bài tập tự giải
Baøi 1: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành
3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
ĐS: Có
3 3
10 6
.
A A
cách
Baøi 2: Trong không khí cho 4 điểm A, B, C, D. Từ những điểm trên ta lập những vectơ khác vectơ –
không. Hỏi trọn vẹn có thể đã có được bao nhiêu vectơ?
ĐS:
2
4
A
= 12 vectơ
Baøi 3: Một lớp học chỉ có những bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này còn có bao nhiêu học viên, biết rằng chỉ

trọn vẹn có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học viên của lớp này theo 132 sơ đồ rất khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa
đủ số học viên)
ĐS:
2
n
A
= 132

n = 12
Baøi 4: Từ 20 học viên cần lựa chọn ra một ban đại diện thay mặt thay mặt lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.
Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 6840.
Baøi 5: Huấn luyện viên một đội nhóm bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có kĩ năng như nhau? (kể cả thủ môn).
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải sắp xếp cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá
quả số 4.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 11

ĐS: a) 55440. b) 120.
Baøi 6: Một người muốn xếp đặt một số trong những pho tượng vào một trong những dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí.
Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Người đó có 6 pho tượng rất khác nhau?
b) Người đó có 4 pho tượng rất khác nhau?
c) Người đó có 8 pho tượng rất khác nhau?
ĐS: a) 6!. b) 360. c) 20160.
Baøi 7: Từ những chữ số 0, 1, 2, …, 9, trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số rất khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải rất khác nhau?

ĐS: a)
4
9
9.
A
b) Có 9
5
số
Baøi 8: Từ những chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số rất khác nhau?
b) Số chẵn gồm 5 chữ số rất khác nhau?
c) Số gồm 5 chữ số rất khác nhau và phải xuất hiện chữ số 5?
ĐS: a) 6.
4
6
A
b)
3 3
5 5
6. 3.5
A A

c) Số gồm 5 chữ số có dạng:
abcde


Nếu a = 5 thì có
4
6

A
số


Nếu a

5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 trọn vẹn có thể đặt vào 1 trong những những vị trí b, c, d, e

có 4 cách
chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn sót lại trọn vẹn có thể chọn từ 5 chữ số còn sót lại

có
3
5
A
cách chọn.


Có
4 3
6 5
4.5.
A A
 = 1560 số
DẠNG 2: bài toán tính toán
Baøi 1: Rút gọn những biểu thức sau:
A =
2 5
5 10
2 5

7
A A
P P
 B =
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
PA P A P A P A PP P P
   
C =
12 11 10 9
49 49 17 17
10 8
49 17
A A A A
A A
 

D =
2
5 4 3 2
5
4 3 2 1
5 5 5 5
P P P P
A
A A A A
 
  
 
 

E =
10
49
10 11
49 49
39A 12!(5! 4!)
38A 13!4!
A



F =
3 2
5 4 3 2
4 3 2 1
5 5 5 5
21( )
20
P P
P P P P
A A A A

 
  
 
 

ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42
Baøi 2: Chứng minh rằng:

a)
2 2 2
2 3
1 1 1 1
, , 2.
n
n
vôùi n N n
A A A n

     

b)
2 1 2
.
n n n
n k n k n k
A A k A
 
  
 
với n, k

N, k

2
c)
1
1 1
.

k k k
n n n
A A k A

 
 
Baøi 3: Giải những phương trình sau:
a)
3
20
n
A n
 b)
3 2
5
n n
A A
 = 2(n + 15) c)
2 2
2
3 42 0.
n n
A A
  

d)
2
4
1 3
210

.
n
n
n
P
A P



 e) 2(
3 2
3
n n
A A
 ) = P
n+1
f)
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
  

g)
10 9 8
9 .
x x x
A A A
  h)
2 2

. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P
   i)
2 2
2
2 50
x x
A A
 
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 12

k)
1
1
1
.
72.
y
x x y
x
A P
P

 


l)
5

3 5
720A .
n n n
P P
 

m)
6 5 4
n n n
A A A
 

ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 5
e) n = 4 f) n = 2; 3 g) x = 11. h) x = 3; 4.
i) x = 5. k) x = 8,
7, .
y y N
 

Baøi 4: Giải những bất phương trình:
a)
4
4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
n n

 
b)
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P

 
 
c)
3
15 15
n
A n
 
d)
3 2
12
n n
A A
 
e)
1
1

2 1
143
0
4
n
n n
A
P P

 
 

ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2

n

36

IV. TỔ HỢP

1. Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n thành phần. Mỗi tập con gồm k (1

k

n) thành phần của A được gọi là một tổng hợp
chập k của n thành phần.

Số những tổng hợp chập k của n thành phần:
!
! !( )!
k
k
n
n
A n
C
k k n k
 


Qui ước:
0
n
C
= 1
Tính chất:

0 1 1
1 1
1
1; ; ;
n k n k k k k k k
n n n n n n n n n
n k
C C C C C C C C C

k
  
 
 
     
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập A =


1 2
; ; ;
n
a a a
và số tự nhiên k bất kì. Một tổng hợp lặp chập k của n thành phần là một
hợp gồm k thành phần, trong số đó mỗi thành phần là một trong n thành phần của A.
Số tổng hợp lặp chập k của n thành phần:
1
1 1
k k m
n n k n k
C C C

   
 
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổng hợp:


Chỉnh hợp và tổng hợp liên hệ nhau bởi công thức:
!
k k

n n
A k C


Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không tồn tại thứ tự.


Những bài toán mà kết quả tùy từng vị trí những thành phần –> chỉnh hợp
trái lại, là tổng hợp.


Cách lấy k thành phần từ tập n thành phần (k

n):
+ Không thứ tự, không hoàn trả:
k
n
C

+ Có thứ tự, không hoàn trả:
k
n
A

+ Có thứ tự, có hoàn trả:
k
n
A

DẠNG 1: Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối
Bài 1: Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 13

a. 3 học viên
b. 3 học viên gồm 1 nam và 2 nữ
c. 3 học viên trong số đó có tối thiểu 1 nam.
Giải
Ban cán sự lớp gồm 3 người trong lớp không tồn tại sự sắp xếp
a) Mỗi một ban cán sự 3 người là một tập con 3 thành phần của tập hợp 40 học viên của lớp. Vậy có:
3
40
9880
C  cách lập ban cán sự lớp 3 người.
b) Có
1
25
C
cách chọn một học viên nam và
2
15
C
cách chọn 2 học viên nam.
Do đó có
1 2
25 15
. 2625
C C  cách lập một ban cán sự lớp gồm 1 nam và 2 nữ
c) Có

3
15
455
C  cách chọn 3 nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán sự lớp 3 người toàn n
ữ.
Dó đó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán sự 3 người ma trong số đó có tối thiểu một nam
Bài 2: (ĐH, CĐ 2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội về giúp sức 3 tỉnh miền núi sao cho từng tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Giải.
Gọi 3 tỉnh mang tên là A, B, C
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
12 3
C .C

Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
8 2
C .C

Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
4 1
C .C

Theo quy tắc nhân ta có:
4 1
12 3
C .C
.

4 1
8 2
C .C
4 1
4 1
C .C
= 207900

Bài 3: (Đề thi CĐ 2005 – Khối D) Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung.
Bạn Hoa muốn lựa chọn ra 5 bông để cắm bình, trong số đó phải có tối thiểu 2 bông hồng bạch và 2 bông
hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải
Bạn Hoa có 2 cách chọn bông cắm bình như sau:
Cách 1: Chọn 2 bông hồng bạch và 3 bông hồng nhung
+ Số cách chọn 2 bông hồng bạch trong 10 bông:
2
10
C

+ Với mỗi cách chọn 2 bông hồng bạch lại sở hữu
3
10
C
cách chọn 3 bông hồng nhung trong 10
bông.
Vậy cách 1 có
2
10
C

.
3
10
C
cách chọn bông.
Cách 2: Chọn 3 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Lập luận tương tự như trên, ta cũng
có
2
10
C
.
3
10
C
cách chọn bông.
Vậy bạn Hoa có số cách chọn bông là:
3 2
10 10
2 10800
C C  cách chọn
Bài 4: (ĐH 2004 – KB) . Trong một môn học, thầy giáo có 30 vướng mắc rất khác nhau gồm 5 vướng mắc
khó, 10 vướng mắc trung bình và 15 vướng mắc dễ. Từ 30 vướng mắc đó trọn vẹn có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 vướng mắc rất khác nhau, sao cho từng đề nhất thiết phải có đủ 3 loại vướng mắc (khó, dễ và
trung bình) và số vướng mắc dễ quá nhiều hơn thế nữa 2.
Giải
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 14

Trong đề kiểm tra, số vướng mắc dễ trọn vẹn có thể là 2 hoặc 3.
Ta có những trường hợp như sau:

– Trường hợp 1: Đề gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có
2 2 1
15 10 5
C .C C

– Trường hợp 2: Đề gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có
2 1 2
15 10 5
C .C C

– Trường hợp 3: Đề gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có
3 1 1
15 10 5
C .C C

Vậy ta có
2 2 1
15 10 5
C .C C
+
2 1 2
15 10 5
C .C C
+
3 1 1
15 10 5
C .C C
= 56785 đề thi

Bài 5. Một bộ bài tây có 52 con, cần rút ra 5 con cờ. Hỏi có bao nhiêu cách:
a. Rút tuỳ ý.
b. Có tối thiểu 2 con át.
Giải
a. Số cách rút 5 con cờ tuỳ ý là:
5
52
C

b. Ta xét những trường hợp:
– rút được 2 con át và 3 con cờ không phải át là:
2 3
4 48
C .C

– Rút được 3 con át và 2 con không phải át là:
3 2
4 48
C .C

– Rút được 4 con át và 1 con không phải át là:
4 1
4 48
C .C

Vậy có
2 3
4 48
C .C
+

3 2
4 48
C .C
+
4 1
4 48
C .C
cách chọn.

Bài 6. Đội thanh niên xung kích của nhà trường có 12 học viên gồm 5 học viên lớp A, 4 học viên lớp
B và 3 học viên lớp C. Cần chọn 4 học viên đi thao tác trách nhiệm, sao cho 4 học viên này sẽ không thật 2
lớp.
Giải
Số cách chọn 4 học viên từ 12 học viên là
4
12
C

Nếu chọn 4 học viên từ 3 lớp thì:
Số cách chọn 2 học viên từ lớp A, 1 học viên lớp B và 1 học viên lớp C là:
2 1 1
5 4 3
C .C .C

Số cách chọn một học viên từ lớp A, 2 học viên lớp B và 1 học viên lớp C là:
1 2 1
5 4 3
C .C .C

Số cách chọn một học viên từ lớp A, 1 học viên lớp B và 2 học viên lớp C là:
1 1 2
5 4 3
C .C .C

 Số cách chọn 4 học viên từ 3 lớp là
2 1 1
5 4 3
C .C .C
+
1 2 1
5 4 3
C .C .C
+
1 1 2
5 4 3
C .C .C

Vậy số cách chọn 4 học viên từ không thật 2 lớp là:
4
12
C
– (
2 1 1
5 4 3
C .C .C
+
1 2 1
5 4 3
C .C .C

+
1 1 2
5 4 3
C .C .C
)
* Bài toán sắp xếp:
Bài 7.
a. Một người dân có 4 pho tượng rất khác nhau và muốn bày 4 pho tượng vào dãy 6 vị trí trên một kệ trang
trí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
b. Một người dân có 8 pho tượng rất khác nhau và muốn bày 6 pho tượng trên vào 6 vị trí trên một kệ trang
trí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Giải
a. Số cách bày 4 pho tượng rất khác nhau vào dãy 6 vị trí trên một kệ trang trí là:
4
6
A

b. Số cách chọn 6 pho tượng trong 8 pho tượng là:
6
8
C

Số cách bày 6 pho tượng vào 6 vị trí là: 6!
Vậy có
6
8
C
.6! = 20160 cách
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 15

Bài 8. Có n nam và n nữ ngồi vào 2 dãy ghế trái chiều. Có bao nhiêu cách sắp xếp:
a. Nam nữ ngồi tuỳ ý.
b. Nam nữ ngồi trái chiều nhau.
Giải
a. Có 2 cách chọn dãy ghế.
Tổng cộng có 2n người, cần chọn n người thì có
n
2n
C
cách chọn.
Xếp n người đó vào n vỉtí của dãy là: n!
Vậy có: 2.
n
2n
C
.n! cách.
b. Bước 1: Xếp n nam vào 1 dãy thì có n! cách
Bước 2: Xếp n nữ vào 1 dãy thì có n! cách
Bước 3: đổi chỗ n cặp nam nữ thì có 2.2….2 = 2
n
cách.
Vậy có n!.n!.2
n
cách.

Bài 9. Có bao nhiêu cách tặng 5 món quà rất khác nhau cho 3 người mà người nào thì cũng luôn có thể có quà.
Giải
Chia 5 món quà cho 3 người, người nào thì cũng luôn có thể có quà, ta có những cách chia như sau:
Trường hợp 1: Một người nhận 1 món quà, hai người còn sót lại, từng người nhận 2 món quà:

– Có 3 cách chọn người nhận 1 món quà
– Có 5 cách cho những người dân nhận 1 món quà
– Có
2
4
C
cách cho quà người nhận 2 món quà thứ nhất.
– Có một cách cho những người dân ở đầu cuối
 có 3.5.
2
4
C
.1 = 90 cách.
Trường hợp 2: Một người nhận 3 món quà, hai người từng người nhận 1 món quà.
– Có 3 cách chọn người nhận 3 món quà.
– Có
3
5
C
cách cho những người dân nhận 3 quà.
– Có 2 cách cho những người dân nhận 1 món quà thứ nhất.
– Có một cách cho những người dân nhận 1 quà thứ hai.
 có 3.
3
5
C
.2 = 60 cách.
Vậy có 90 + 60 = 150 cách
Bài 10. Từ những chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong số đó số 1 xuất hiện
đúng 3 lần và những số khác xuất hiện đúng 1 lần.

Giải
Gọi số có 7 chữ số là a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7

Trường hợp a
1
= 1
Chọn 2 vị trí trong 6 vị trí cho số một là
2
6
C
.
4 vị trí còn sót lại cho 4 số 0, 2, 3, 4  có 4! cách

2
6
C
.4!

Trường hợp a
1


1
Chọn 3 vị trí cho số một là
3
6
C

Có 3 vị trí cho số 0
3 vị trí còn sót lại cho 3 số còn sót lại  3! Cách
 3
3
6
C
.3!
Vậy có
2
6
C
.4! + 3
3
6
C
.3! = 720 cách
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 16

Bài 11. Có thể xây dựng bao nhiêu số có 8 chữ số, trong số đó chữ số 1 và chữ số 6 đều xuất hiện gấp đôi,

những chữ số 2, 3, 4, 5 đều cómặt đúng 1 lần.
Giải

Chọn vị trí số 1 có
2
8
C
cách.
Chọn vị trí số 6 có
2
6
C
cách.
4 vị trí còn sót lại chọn cho 4 số còn sót lại  4! cách.
Vậy có
2
8
C
.
2
6
C
.4! = 10.080 cách.
Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong số đó chữ số 2 xuất hiện đúng gấp đôi, chữ số 3 xuất hiện
đúng 3 lần, những chữ số còn sót lại xuất hiện không thật 1 lần.
Giải
Gọi số cần lập là B = a
1
a
2

a
3
a
4
a
5
a
6
a
7

Chọn vị trí cho số 2 có
2
7
C
cách.
Chọn vị trí cho số 3 có
3
5
C
cách.
Hai vị trí còn sót lại chọn cho những số còn sót lại, nếu tính cả a
1
trọn vẹn có thể bằng 0 thì có
2
8
A
cách.
 có
2

7
C
.
3
5
C
.
2
8
A
cách.
Nếu a
1
= 0
Chọn vị trí cho số 2 có
2
6
C

Chọn vị trí cho sô 3 có
3
4
C

Vị trí còn sót lại chọn cho 7 số còn sót lại, có 7 cách chọn

2
6
C
.

3
4
C
.7
Vậy số những số cần lập là:
2
7
C
.
3
5
C
.
2
8
A
–
2
6
C
.
3
4
C
.7 = 11340 số
Bài tập tự giải
Baøi 1: Cho 10 vướng mắc, trong số đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu trúc thành những đề thi.
Biết rằng trong những đề thi phải gồm 3 vướng mắc, trong số đó nhất thiết phải có tối thiểu 1 câu lý thuyết
và 1 bài tập. Hỏi trọn vẹn có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS:


Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:
2 1
4 6
. 36
C C 


Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:
1 2
4 6
. 60
C C

Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Baøi 2: Một lớp học có 40 học viên, trong số đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn
một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học viên tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ.

d) Có tối thiểu 1 nam. e) Có tối thiểu 1 nam và 1 nữ.
ĐS: a)
4
40
C
b)
1 3
25 15
.

C C
c)
2 2
25 15
.
C C
d)
1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25
. . .
C C C C C C C
  
e)
4 4 4
40 25 15
C C C
 
Baøi 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không tồn tại 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo
thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?
ĐS: 20 ; 10.
Baøi 4: Có 5 tem thư rất khác nhau và 6 bì thư cũng rất khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư,
3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu
cách làm như vậy?
ĐS: 1200.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 17

Baøi 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách
lấy được:
a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?

ĐS: a) 20. b) 150.
Baøi 6: Từ 20 người, lựa chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng phi hành đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy
viên. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Baøi 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (những bông hoa xem như đôi một
rất khác nhau), người ta muốn lựa chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa
trong số đó:
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b) Có tối thiểu 3 bông hồng vàng và tối thiểu 3 bông hồng đỏ?
ĐS: a) 112 b) 150
Baøi 8: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không tồn tại 3 đường nào
đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
ĐS:

Số giao điểm:
2
( 1)
2
n
n n
C


Số tam giác:
3
( 1)( 2)
6
n

n n n
C
 

Baøi 9: Cho 10 điểm trong không khí, trong số đó không tồn tại 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng trải qua từng cặp điểm?
b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
d) Nếu trong 10 điểm trên không tồn tại 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo
thành?
ĐS: a)
2
10
C
b)
2
10
A
c)
3
10
C
d)
4
10
C

Baøi 10: Cho đa giác lồi có n cạnh (n  4)
a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
b) Giả sử 3 đường chéo cùng trải qua một đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không

phải là đỉnh) của những đường chéo ấy?
ĐS: a)
2
n
C n n
 


n = 5
b) Giao điểm của 2 đường chéo của một đa giác lồi (không phải là đỉnh) đó là giao điểm của 2
đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm
bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác:
4
n
C

Baøi 11: Cho một đa giác lồi có n-cạnh
( , 3)
n b
 
.
a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu giao điểm giữa những đường chéo?
ĐS: a)
( 3)
; 5.
2
n n
n



b)
( 2)( 1)
.
6
n n n
 
c)
( 1)( 2)( 3)
24
n n n n
  
.
DẠNG 2, tính toán biểu thức tổng hợp

Baøi 1: Tính giá trị những biểu thức sau:
A =
23 13 7
25 15 10
3
C C C
  B =
4 3 4 2
7 7 8 3
5 6 6
10 10 11 2
1
1
C C C A

C C C P
  

  
C =
8 9 10
15 15 15
10
17
2
C C C
C
 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 18

D =
5 6 7
15 15 15
7
17
2
C C C
C
 

ĐS: A = – 165 B = 4
Baøi 2: Rút gọn những biểu thức sau:
A =

2 3
. .
n n n
n n n
C C C
; B =
8 9 10
2 15 15 15
10
17
2
.
n
k
n n k
P C C C
A P C


 
 ;
C =
2
1
1 1 1
2
k n
n n n
n
k n

n n n
C C C
C k n
C C C
 
    

Baøi 3: Chứng minh những hệ thức sau:
a)
. .
k p. k p. k
n n k n p.
C C C C



(k  p.  n) b)
1
1
k k
n n
n
C C
k


 (1

k

n)
c)
1 1 1
2
2
k k k k
n n n n
C C C C
  

   d) . .
m k k m k
n m n n k
C C C C


 (0  k  m  n)
e)
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    
 
     f)
2
2
( 1) ( 1)

k k
n n
k k C n n C


   ( 2 < k < n)
g)
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
  

    (3  k  n)
h)
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
   

    
(4  k  n)
ĐS: Sử dụng tính chất:
1
1

k k k
n n n
C C C


 
Baøi 4: Chứng minh rằng:
2
2
1 1
.
2
2 1
n
n
n
C
n


( n  N, n  1)
HD: Biến đổi vế trái:
2
2 2
1 (2 )! 1.3.5 (2 1)
.
2 2 . ! ! 2.4.6 (2 )
n
n
n n

n n
C
n n n

 

Vậy ta phải chứng tỏ:
1.3.5 (2 1) 1
2.4.6 (2 )
2 1
n
n
n


Ta có:
2 2
2 2
2 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 1
2
2 1
4 4 1
k k k k
k
k
k k
   
  


Baøi 5: Giải những phương trình sau:
a)
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C




b)
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
  c)
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x x
   

d)
4 2 10
10 10
x x
x x
C C
 
 
 e)
2 2 1
4 3 3
. . 0
x
x C x C C
  
f)
2 2
2
101
x
x x
A C


 
g)
3 3
8 6
5
x

x x
C A

 
 h)
2 3
1 1
2 7( 1)
x
x x
C C x

 
  
i)
3 2
14
x
x x
A C x

 
k)
5
5
2
336
x
x
x

A
C


 l)
2
28
2 4
24
225
52
x
x
C
C

 m)
1 2 3
7
2
x x x
C C C x
  
n)
1 2 3 10
1023
x x x x
x x x x
C C C C
   

     o)
1 2 1
1 4
1 1 7
6
x x x
C C C
 
 
ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 7 d) x = 14 e) x = 3
f) x = 10 g) x = 17 h) x = 5 i) x = 5 k) x = 8
l) x = 7 m) x = 4 n) x = 10 o) x = 3; x = 8
Baøi 6: Giải những bất phương trình:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 19

a)
3
1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P


 b)
2
5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k





c)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
  
  

d)

2 2
1
2 3 30
x x
C A

 
e)
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
  
f)
2 1
1 1
100
n n
n n
C C
 
 
 
ĐS: a) đk: n

3, n

2
+ n – 42 > 0

n

6
b)
( 5)( 4)( 1) 0
k n
n n n k



    


Xét với n

4: bpt vô nghiệm


Xét n

0,1,2,3 ta được những nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
c) đk: n

5, n
2

– 9n – 22 < 0

n = 5; 6; 7; 8; 9; 10
d) x = 2 e) x = 3, x = 4
Baøi 7: Giải những hệ phương trình:
a)
1
1
126
720
x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P




 




b)
1 1
1
6 5 2
y y y
x x x
C C C
 

  c)
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C



 


 

d)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

 


 


e)
2
1
:
3
1
:
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A











f)
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C
 







g)
1
1
2
126
720
x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P

 


 





h)
3 2
5 5
2 3

4 5
7
4 7
y y
x x
y y
x x
A A
C C
 
 







i)
2 180
36
y y
x x
y y
x x
A C
A C

 


 

ĐS: a)
5
7
x
y





b)
8
3
x
y





c)
17
8
x
y






d) x = 5, y = 2.
e) x = 4, y = 8. f) x = 7, y = 4
Baøi 8: Tìm số tự nhiên k sao cho
1 2
14 14 14
, ,
k k k
C C C
 
lập thành một cấp số cộng.
ĐS: k = 4; 8.
V. NHỊ THỨC NEWTON

1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n

N và với mọi cặp số a, b ta có:
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b

 

2. Tính chất:
1) Số những số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng những số mũ của a và b trong những số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T
k+1
=
k n k k
n
C a b

( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các thông số của những cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:
k n k
n n
C C


5)
0
1
n
n n
C C
 
,
1
1

k k k
n n n
C C C


 
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 20

* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt quan trọng thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt quan trọng. Chẳng hạn:
(1+x)
n
=
0 1 1

n n n
n n n
C x C x C

  

0 1
2
n n
n n n
C C C
   

(x–1)
n
=
0 1 1
( 1)
n n n n
n n n
C x C x C

   

0 1
( 1) 0
n n
n n n
C C C
    

DANG 1: Xác định thông số, số hạng
Bài 1: (ĐH HCQG, 2000)
Tìm thông số x
8
trong khai triển
12
1
1
x
 


 
 

Giải
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là:
12 12 2
12 12
1
k
k x k k
k
a C x C x
x
 
 
 
 
 



0 12
k 
Ta chọn
12 2 8 2
k k
   

Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x

8
và có thông số là:
2
12
66
C

Bài 2: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
 
7
3
4
1
f x x
x
 
 
 
 
với
0
x

Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
 
 

7 7
7
3
3 12
1 7 7
4
1
, 7
k
k
k
k k
k
T C x C x k k
x



 
   
 
 

Ứng với số hạng không chứa x ta có:
7 7
0 4
3 12
k k
   

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển


f x
là:
4
7
35
C

Bài 3: Tìm thông số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
11 7
2
2
1 1
A x x
x x
   
   
   
   

Giaûi:

Công thức khai triển của biểu thức là:
 

 
11 7
7
11 2
11 7
2
0 0
11 7
11 3 14 3
11 7
0 0
1 1

1
k
n
k k n
n
k n
k
k k n n
k n
A C x C x
x x
A C x C x


 
 
 

 
  
 
 
   
 
 

Để số hạng chứa x
5
vậy k=2 và n=3 Vậy thông số của x
5
là
2 3
11 7
90
C C
 

Bài 4: Tìm thông số x
3
trong khai triển
2
2
n
x
x
 

 

 
biết n thoả mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C

   

Giải
Khai triển: (1+x)
2n
thay x=1;x= -1 và phối hợp giả thiết được n=12
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 21

Khai triển:
12
12
2 24 3
12
0
2
2
k k k
k
x C x
x



 
 
 
 

thông số x
3
:
7 7
12
2
C =101376

Bài 5: (ĐH KA 2004)
Tìm thông số của x
8
trong khai triển đa thức của:
 
8
2
1 1
x x
 
 
 

Giải
Cách 1: Ta có:

     
8 8
2 2
8 8
0 0 0
1 1 .
k
k
k
i
k k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
  
 
 
   
 
 
 
  

Vậy ta có thông số của x
8
là:


8
1

i
k i
k
C C
 thỏa mãn thị hiếu
0
0 8
4
2 8
2
,
3
i
i k
k
k i
i
i k
k
 

  




 

  













Hệ số trong khai triển của x
8
là:




0 2
4 0 3 2
8 4 8 3
1 1
C C C C
  
=238

Cách 2: Ta có:

       
3 4 8
0 3 2 4 2 8 2
8 8 8 8
1 1 1
f x C C x x C x x C x x
     
        
     

Nhận thấy: x
8
chỉ có trong những số hạng:
 Số hạng thứ 4:
 
3
3 2
8
1
C x x
 

 

 Số hạng thứ 5:
 
4
4 2
8
1

C x x
 

 

Với thông số tương tự với: A
8
=
3 2 4 0
8 3 8 4
C C C C
 =238
Bài 6: ( ĐHSPHN, khối D,2000) Cho biết tổng toàn bộ những hệ sô của khai triển nhị thức


2
1
n
x

bằng 1024. Hãy tìm thông số a


*
a N
 của số hạng ax
12
trong khai triển đó.
Giải

Ta có:
 
2 2 1 2 12 2
0
1
n
k n k k k
n n n n
k
x C x C C x C x


     

Với x=1 thì:
0 1
2 1024
n n
n n n
C C C    
10
2 2 10
n
n
   

Do đó thông số a (của x
12
) là:

6
10
210
C 
Bài 7:
a)Tìm số hạng đứng giữa trong những khai triển sau


21
3
x xy

b)Tìm số hạng đứng giữa trong những khai triển sau
 
20
4
2
3
1
x x
xy
 
 

 
 

giải
a. Khai triển



20
3
x xy

có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12.
 Số hạng thứ 11 là:


 
11
10
10 3 10 43 10
21 21
C x xy C x y

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 22

 Số hạng thứ 12 là:


 
10
11
11 3 10 41 11
21 21
C x xy C x y

b. Khai triển
 
20
4
2
3
1
x x
xy
 
 

 
 
có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng
thứ
 
10
10
65 20
7
2
10 10
6 3
4
3
20 20
21

1 16:
2
C x xy C x y


 
 
 
  
 
 
 
 
 
 

( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn số 1 không vượt quá x).
Bài 8: Tìm những hạng tử đứng giữa trong khai triển:
3 15
( )
x xy

Lời giải
* Số hạng tổng quát trong khai triển ( x
3
– xy)
15
là:

3 15
1 15
( ) ( )
k k k
k
T C x xy


 
* Trong khai triển trên có n = 15 do đó có 16 số hạng nên ssố hạng đứng giữa là số hạng thứ
8 và thứ 9:

7 3 15 7 7 31 7
8 7 1 15
( ) ( ) 6435
T T C x xy x y


    

8 3 15 8 8 29 8
9 8 1 15
( ) ( ) 6435
T T C x xy x y


   

Bài 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức:
10
9 10
0 1 9 10
1 2
.
3 3
x a a x a x a x
 
     
 
 

Hãy tìm số hạng
k
a
lớn số 1
Giải
Ta có:
   
10
10
10 10
10 10 10
0
1 2 1 1 1
1 2 2 2
3 3 3 3 3
n
k

k k k
k
k
x x C x a C

 
     
 
 

Ta có a
k
đạt được max
     
     
 
 
1 1
1 10 10
1 1
1
10 10
2 2
2 2
2 10! 2 10!
1 2
! 10 ! 1 ! 9 !
19 22
10 1

2 2
3 3
2 10! 2 10!
11
! 10 ! 1 ! 11 !
7 , 0,10
k k k k
k k
k k k k
k k
k k
k k
a a C C
a a
C C
k k k k
k k
k
k k
k k k k
k k k
 

 


 


 

 











  
 
 
    
 
 






  

   

Vậy max
7

7
7 10
10
2
3
k
a a C
 
Bài 10:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:








9 10 14
1 1 1
Q. x x x x
      
Ta được đa thức:


14
0 1 14

Q. x a a x a x
   
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT

VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 23

Xác định thông số a
9
.
Giải
Hệ số x
9
trong những đa thức






9 10 14
1 , 1 , , 1
x x x
  
lần lượt là:
9 5 9
9 10 14
, , ,
C C C

Do đó:
9 5 9
9 9 10 14
1 1 1 1
1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.

12.13.14
2 6 24 20
a C C C         
=11+55+220+715+2002=3003

Bài tập tự giải
Baøi 1: Tìm thông số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:
a)
9 4
( 3) ;
x M x
 
b)
12 5
(2 1) ;
x M x
 
c)
15 9
(2 ) ;
x M x
 

d)
11 6
(1 3 ) ;
x M x
 
e)

2 12 15
(3 ) ;
x x M x
 
f)
13 7
(2 5 ) ;
x M x
 

g)
10
2 11
2
;
x M x
x
 
 
 
 
h)
12
3
1
2 ;
x M x
x
 
 

 
 
i)
14
2
2
;
y M y
y
 
 
 
 

k)
17 8 9
(2 3 ) ;
x y M x y
  l)
3 15 25 10
( ) ;
x xy M x y
  k)
25 12 13
(2 3 ) ;
x y M x y
 
ĐS:
Baøi 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
a)

10
4
1
x
x
 

 
 
b)
12
2
4
1
x
x
 

 
 
c)
5
3
2
1
x
x
 

 

 
d)
6
2
1
x
x
 

 
 

e)
10
1
2x
x
 

 
 
f)
10
2
3
1
x
x
 

 
 
g)
15
3
2
2
x
x
 

 
 
h)
10
1
x
x
 

 
 

ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210
Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng:
2
0 1 2
( )
n
n

P x a a x a x a x
     . Xác định thông số a
k
:
a)
9 10 14
9
( ) (1 ) (1 ) (1 ) ;
P x x x x a
       ?
b)
2 3 20
15
( ) (1 ) 2(1 ) 3(1 ) 20(1 ) ;
P x x x x x a
         ?
c)
80 2 80
0 1 2 80 78
( ) ( 2) ;
P x x a a x a x a x a
       ?
d)
50 2 50
0 1 2 50 46
( ) (3 ) ;
P x x a a x a x a x a
       ?
e)
3 4 5 30

3
( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ;
P x x x x x a
         ?
ĐS: a)
9
3003
a

b)
15
400995
a

c)
78
12640
a

d) a
46
= 18654300
Baøi 4: Trong khai triển
( )
n
x y z
  , tìm số hạng chứa
.
k m
x y

(k, m < n)
ĐS: Trước hết tìm toàn bộ số hạng chứa x
k
.
Ta có: (x + y + z)
n
=
   

n
n k
k k
n
x y z C x y z

     
 
 

mà (y + z)
n–k
=

m m n k m
n k
C y z
 

 

 số hạng chứa
.
k m
x y
là: .
k m k m n k m
n n k
C C x y z
 

Baøi 5: Tìm thông số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:
a)
2 10 6
(1 ) ;
x x M x
  
b)
2 10 17
(1 2 ) ;
x x M x
  

c)
2 5 3
( 1) ;
x x M x
  
d)
2 3 8 8

(1 ) ;
x x M x
  

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 24

e)
2 3 10 5
(1 ) ;
x x x M x
   
f)
8
2 8
1 (1 ) ;
x x M x
 
  
 

Baøi 6:
a) Cho biết trong khai triển
3
2
1
n
x
x
 


 
 
tổng những thông số của những hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
bằng 11. Tìm thông số của
2
x
.
b) Cho biết trong khai triển
2
1
,
n
x
x
 

 
 
tổng những thông số của những hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
là 46. Tìm hạng tử không chứa x.
c) Cho biết tổng của 3 thông số của 3 số hạng thứ nhất trong khai triển
2
2
3
n
x
 

 

 
là 97. Tìm hạng
tử của khai triển chứa x
4
.
d) Tìm thông số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển
7
4
1
n
x
x
 

 
 
, biết rằng:

1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
  
    
.

e) Tìm thông số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển
(2 )
n
x
 , biết rằng:

0 0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2048
n n n n
n n n n
C C C C
 
     
ĐS: a)
2
4
4, 6
n C
 
b) n = 9 ; 84 c) n = 8;
4
1120
x
d) n = 10;
26
210
x

e) n = 11;
10
22
x

Baøi 7: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức:


5
3
3 2

b) Tìm số mũ n của biểu thức
3
1
12
n
b
 

 
 
. Biết tỉ số giữa những thông số của số hạng thứ 5 và thứ
3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6?
c) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển
15
1
.
x

x
 

 
 

d) Tìm số hạng chứa a
7
trong khai triển
12
2
3
3 2
.
64 3
a a
 

 
 

e) Tìm số hạng giữa của khai triển
10
3
5
1
.
x
x
 


 
 

f) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
12
1
x
x
 

 
 
.
g) Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển
16
3
1
.
x
x
 

 
 

ĐS: a)
2
5
.3.2 60

C

b) n = 9

T
6
=
 
5
4
5
9
2 2
3 3
1 126
.C b
b b b
 

 
 
c)
5
6 15
.
T C

d)
7 30

924 .2 .
a

e)
15 30 15
16 30
. . .
T C x y
 f) 495. g) 1820.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 25

Baøi 8: Trong khai triển của nhị thức:
21
3
3
a b
b a
 

 
 
, tìm những số hạng chứa a, b với luỹ thừa
giống nhau?
ĐS: Ta có: T
k+1
=
21
3
21

3
. .
k k
k
a b
C
b a

   
   
   
=
21 21
3 6 2 6
21
. .
k k k k
k
C a b
 
 

21 21
3 6 2 6
k k k k
 
  


k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T
10
=
5 5
9
2 2
21
. .
C a b

Baøi 9: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau:
a)
10
4
( ) .
x x
 b)
13
3
1
.
x
x
 

 
 

ĐS: a)

2 6 7 10 10
10 10 10
, , .
C x C x C x
b)
0 13 3 9 6 5 9
13 13 13 13
, , , .
C x C x C x C x

Baøi 10: a) Tìm số hạng của khai triển
9
3
( 3 2)

là một số trong những nguyên.
b) Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển
6
( 3 15) .

c) Xác định những số hạng hữu tỉ của khai triển
36
5 3
( 3 7) .

d) Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển
124
4
( 3 5) .


ĐS: a)
4 10
4536, 8.
T T
 
b)
1 3 5 7
27, 2005, 10125, 3375.
T T T T
   

c)
7 22 37
, , .
T T T
d) 32 số hạng
Baøi 11: a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển
13
1
n
a
a
a

 

 
 
nếu

3 2
: 4:1.
n n
C C 
b) Trong khai triển
(1 )
n
x
 theo lũy thừa tăng của x, cho biết thêm thêm :
3 5
4 6
4
40
3
T T
T T







. Tìm n và x?
c) Trong khai triển
4
1
n
a a
a

 

 
 
cho biết thêm thêm hiệu số giữa thông số của hạng tử thứ ba và thứ hai là
44. Tìm n.
ĐS: a)
51
13
3
14, 91 .
n T a
  b)
1
6, .
2
n x
  
c) n = 11
Dạng 2: tính tổng
1
1
k k
n n
kC nC


 VÀ
1
1

1 1
1 1
k k
n n
C C
k n



 

Bài 1: Tính tổng
1 2 3
2 3
n
n n n n
S C C C nC
    

Giải
Số hạng tổng quát của tổng có dạng
k
n
kC
, vì vậy ta trọn vẹn có thể vận dụng ngay tính chất trên.
Áp dụng tính chất (*) ta có:
1
1
k k
n n

kC nC


 với
1
k n
 

Khi đó:
0 1 2 1 1 1
1 1 1 1
( ) (1 1) .2
n n n
n n n n
S n C C C C n n
  
   
       

Bài 2:

Reply
1
0
Chia sẻ

Video full hướng dẫn Share Link Down Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà rất khác nhau cho 4 học viên ?

– Một số Keyword tìm kiếm nhiều : ” đoạn Clip hướng dẫn Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà rất khác nhau cho 4 học viên tiên tiến và phát triển nhất , Chia Sẻ Link Down Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà rất khác nhau cho 4 học viên “.

Giải đáp vướng mắc về Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà rất khác nhau cho 4 học viên

Quý khách trọn vẹn có thể để lại Comment nếu gặp yếu tố chưa hiểu nha.
#Có #bao #nhiêu #cách #treo #bốn #phần #quà #khác #nhau #cho #học #sinh Có bao nhiêu cách treo bốn phần quà rất khác nhau cho 4 học viên