Biến cố trong xác suất là gì Chi tiết

by | Mar 10, 2022 | Thủ Thuật Mới | 0 comments

Mục lục bài viết

Thủ Thuật Hướng dẫn Biến cố trong xác suất là gì Chi Tiết

Update: 2022-03-10 09:10:16,Bạn Cần biết về Biến cố trong xác suất là gì. Bạn trọn vẹn có thể lại Comments ở phía dưới để Ad đc lý giải rõ ràng hơn.

839

Toán học là một ngôn từ hình thức mà những nhà khoa học tạo ra để cố mô tả tự nhiên. Một trong những yếu tố cơ bản nhất của toán học là đi cân đo đong đếm… và nghệ thuật và thẩm mỹ ở đấy là xây dựng ra những “độ đo” trừu tượng… Nhà toán học, vật lý Galileo Galilei có vài câu thơ như sau:

Tóm lược đại ý quan trọng trong bài

  • 2. Không gian mẫu và sự kiện
  • 3. Xác suất
  • 4. Xác suất trên không khí mẫu hữu hạn thành phần
  • 5. Biến cố độc lập
  • 6. Xác suất có Đk
  • 7. Công thức xác suất toàn phần
  • 8. Công thức Bayes
  • Tham khảo

“Measure what is measurable, and make measurable what is not so.”
— Galileo Galilei

Xác suất là độ đo của toán học để đo tính phi chứng minh và khẳng định của kĩ năng xẩy ra một sự kiện (biến cố).

2. Không gian mẫu và sự kiện

Tập những kết quả trọn vẹn có thể xẩy ra của một thí nghiệm được gọi là không khí mẫu (ký hiệu: ( Omega )). Mỗi thành phần ( omega ) trong ( Omega ) được gọi là một kết quả (một điểm hay thành phần trong không khí mẫu). Mỗi tập con của ( Omega ) được gọi là một biến cố.

Tung đồng xu kết quả trọn vẹn có thể là sấp hoặc ngửa. Gọi $ S $ là biến cố “sấp” và $ N $ là biến cố “ngửa”. Tung đồng xu hai lần, không khí mẫu là $Omega = left SS,SN,NS,NN right$ .
Biến cố lần tung thứ nhất sấp trong thí nghiệm là $ A = SS, SN $

Đặt $ omega $ là vận tốc của một chiếc xe máy, khi đó toàn bộ chúng ta trọn vẹn có thể đặt không khí mẫu là $ Omega = mathbbR = (-infty , +infty )$. Đọc đến đây bạn đọc trọn vẹn có thể nhận định rằng việc đặt $ Omega $ như trên là không thích hợp! Vì có vẻ như như sẽ đã có được chặn trên và chặn dưới cho vận tốc chiếc xe máy này! Nhưng “thường” thì việc này sẽ không tồn tại tác động gì cả. Biến cố xe máy chạy to nhiều hơn hoặc bằng $ 40 $ và nhỏ hơn hoặc bằng $ 50 $ là $ A =[ 40, 50]$

Cho biến cố ( A ), gọi ( bar A = omega in Omega : omega notin A ) là ký hiệu là phần bù của ( A ), biến cố ( bar A ) gọi là phủ định của (A).

Cho hai biến cố ( A ) và ( B ), biến cố hợp của ( A ) và ( B ) là biến cố “tối thiểu một trong hai biến cố ( A) hoặc (B) xẩy ra” được định nghĩa:

[ A cup B = left omega in Omega : omega in A text hoặc omega in B right\]

Cho hai biến cố ( A ) và ( B ), biến cố giao của ( A ) và ( B ) là biến cố “cả ( A) và (B) xẩy ra “ được định nghĩa (đôi lúc toàn bộ chúng ta viết ( A cap B ) dưới dạng ( (A,B) ) hoặc (AB) ):

[ A cap B = left omega in Omega : omega in A text và omega in B right\]

3. Xác suất

Xác suất là một hàm số thực định lượng kĩ năng xẩy ra của mỗi biến cố ( A ) xẩy ra trong không khí mẫu ( Omega ), mỗi biến cố ( A ) sẽ tiến hành gán một số lượng thực để định lượng kĩ năng ( Pr(A) ) (hay còn gọi là độ đo xác suất). Mỗi xác suất của mỗi biến cố phải thỏa mãn thị hiếu những tiên đề sau:

Ba tiên đề luật xác suất (Probability Law) Tiên đề 1: Không âm (Nonnegativity)
( Pr(A) ge 0 ), với mọi biến cố ( A ) Tiên đề 2: Chuấn hóa (Normalization)
( Pr(Omega) = 1 ) Tiên đề 3: Cộng tính (Additivity) Nếu hai biến cố ( A ) và ( B ) rời nhau (disjoint) hay (A cap B = emptyset ) thì: [ Pr(A cap B) = Pr(A) + Pr(B) tag1 ] Tổng quát hơn nếu như ( A_1, A_2,… ) rời nhau thì:

[ Pr left( bigcuplimits_i = 1^infty A_i right) = sumlimits_i = 1^infty Prleft( A_i right) tag2 ]

Có thật nhiều phương pháp để lý giải xác suất, cách phổ cập nhất là lý giải xác suất dựa vào tần số xuất hiện (The Frequency Interpretation of Probability). Trong nhiều yếu tố, xác suất trọn vẹn có thể xem như thể tần số kết quả của một quy trình mà kết quả thu được khi lặp đi tái diễn lượng lớn những phép thử trên cùng một Đk tương tự. Chẳng hạn, xác suất tung đồng xu là mặt sấp trọn vẹn có thể xem như thể ( 1 / 2 ) khi mà số lượng phép thử lớn và Đk tung đồng xu ở những phép thử là tương tự nhau (không được vài lần ở trái đất, rồi tiếp tục đem lên sao hỏa tung tiếp 😀 ).

Việc “lý giải xác suất” với những cách lý giải rất khác nhau không hẳn là quá quan trọng cho tới khi toàn bộ chúng ta xử lí những yếu tố tương quan đến suy luận thống kê, mà ở những phần sau toàn bộ chúng ta sẽ bàn đến hai trường phái suy luận tầm cỡ là nhà thống kê tần suất và nhà thống kê bayes.

Từ ba tiên đề ở trên toàn bộ chúng ta trọn vẹn có thể suy ra một số trong những tính chất của xác suất như sau:

[ Pr( emptyset ) = 0 ]
[ A subset B Rightarrow Pr(A) le Pr(B) ]
[ 0 le Pr(A) le 1 ]
[ Pr(A) + Pr(bar A) = 1 ]
[ A cap B = emptyset Rightarrow Pr(A cap B) = Pr(A) + Pr(B) ]

Bổ đề Với mọi biến cố $ A $ và $ B $ ta có: $$ Pr(A cup B) = Pr(A) + Pr(B)-Pr(AB) $$

Chứng minh:

Tập $A cup B $ trọn vẹn có thể phân ra làm 3 tập: tập thành phần của $A$ mà không thuộc $B$, tập thành phần chung của $A$ và $B$, tập thành phần của $B$ mà không thuộc $A$ do đó:

[beginarray*20lPrleft( A cup B right)& = Prleft( left( Aoverline B right) cup left( AB right) cup left( overline A B right) right)\& = Prleft( Aoverline B right) + Prleft( AB right) + Prleft( overline A B right)\& = Prleft( Aoverline B right) + Prleft( AB right) + Prleft( overline A B right) + left( Prleft( AB right) – Prleft( AB right) right)\& = left( Prleft( Aoverline B right) + Prleft( AB right) right) + left( Prleft( overline A B right) + Pr(AB) right) – Prleft( AB right)\& = Prleft( left( Aoverline B right) cup left( AB right) right) + Prleft( left( overline A B right) cup left( AB right) right) – Prleft( AB right)\& = Prleft( A right) + Prleft( B right) – Prleft( AB right)endarray]

4. Xác suất trên không khí mẫu hữu hạn thành phần

Giả sử không khí mẫu ( Omega = omega_1,…,omega_n ) có hữu hạn thành phần. Ví dụ như bài toán tung đồng xu ba lần thì chỉ có ( 2^3 = 8 ) kết quả trọn vẹn có thể xẩy ra ( Omega = (f,c,t) : f,c,t in S, N ). Lúc này xác suất của một biến cố ( A ) được xem ( Pr(A) = |A|/8 ) với (|A| ) kí hiệu số thành phần của ( A ), thời gian lúc bấy giờ xác suất của biến cố (2) lần tung thứ nhất là (S) (mặt sấp) với ( A = (S,S,N), (S,S,S) ), xác suất biến cố (A) xẩy ra là ( Pr(A) = 2 / 8= 1 / 4 ).

Xác suất trên không khí mẫu hữu hạn thành phần Nếu không khí mẫu ( Omega ) hữu hạn thành phần, xác suất biến cố (A) xẩy ra là:
[ Pr(A) = frac A right Omega right ]

5. Biến cố độc lập

Độc lập nghĩa là không tương quan dính líu gì đến nhau, triết lí của nó rất đơn thuần và giản dị… và hai biến cố gọi là độc lập cũng vậy.

Định nghĩa: Hai biến cố độc lập Hai biến cố ( A ) và ( B ) gọi là hai biến cố độc lập khi:[ Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) ] và toàn bộ chúng ta ký hiệu ( A perp!!!perp B ).

Một họ ( M = A_i: iin I\) những biến cố được gọi là họ độc lập nếu như:

[ Prleft( bigcaplimits_i in J A_i right) = prodlimits_i in J Pr(A_i)]

với mỗi tập con hữu hạn (J ) của (I).

6. Xác suất có Đk

Xác suất có Đk trọn vẹn có thể phát biểu một cách nôm na là xác suất của một biến cố (A) nào đó xẩy ra lúc biết rằng biến cố ( Pr(B)) xẩy ra và được ký hiệu (Pr(A|B) ) đọc là “xác suất của (A) lúc biết (B) xẩy ra”.

Định nghĩa: Xác suất có Đk Nếu như xác suất biến cố (B) là trọn vẹn có thể xẩy ra hay (Pr(B)> 0 ) thì xác suất có Đk của (A) lúc biết (B) là:
[ Pr(A|B) = fracPrleft(ABright)Prleft(Bright) ]
Do đó nếu như hai biến cố (A ) và (B) độc lập thì xác suất hợp của chúng trọn vẹn có thể được màn biểu diễn bởi tích của những xác suất của từng biến cố ( Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) ) suy ra bổ đề sau:
Bổ đề Nếu như (A) và (B) là hai biến cố độc lập thì (Pr(A|B) = Pr(A)). Hay nói cách khác với mọi cặp biến cố độc lập (A) và (B) ta có:
[Pr(AB)=Pr(A|B)Pr(B) = Pr(B|A)Pr(A) ]

7. Công thức xác suất toàn phần

Định nghĩa Một họ những tập con $B_1,…,B_n$ của không khí mẫu $ Omega $ là một phân hoạch (partition) của $Omega$ nếu như những tập $B_i$ đôi một không giao nhau, và hợp của chúng bằng $Omega$:
$$B_i cap B_j = emptyset text với forall i neq j, bigcuplimits_i = 1^n B_i = Omega $$

Nếu như toàn bộ chúng ta cần đi tìm một xác suất $Pr(A)$ nhưng thông tin chỉ có gồm có những xác suất $Pr(B_i) $ của một phân hoạch $B_1,…,B_n$ của không khí xác suất và xác suất có Đk $Pr(A | B_i)$ thì toàn bộ chúng ta trọn vẹn có thể vận dụng công thức xác suất toàn phần (law of total probability) để tính xác suất của biến cố $A$:

$$ Pr(A) = sum_i^nPr(A cap B_i) = sum_i^n Pr(A | B_i) Pr(B_i) $$

8. Công thức Bayes

Thomas Bayes là một nhà toán học tài tử, sở dĩ gọi ông ấy tài tử chính vì ông khởi đầu toán muộn, khu công trình xây dựng thì ít… nhưng đủ làm thay đổi cả toàn thế giới!

Nếu (A, B) là hai biến cố với xác suất khác (0):
[ Pr(B|A) = fracB)Pr(B)Pr(A) tag3 ]
Công thức trên là hệ quả trực tiếp của công thức (Pr(B|A)Pr(A)=Pr(A|B)Pr(B)). Kết thích phù hợp với công thức xác suất toàn phần ta có:
Công thức Bayes Giả sử (B_1,…,B_n) là một phân hoạch trên không khí mẫu (Omega). Khi đó ta có công thức Bayes:
[Pr(B_k|A) = fracB_k)Pr(B_k)Pr(A) = fracB_k)Pr(B_k)sumnolimits_i = 1^n Pr(A ]

Công thức xác suất Bayes rất đơn thuần và giản dị nhưng nó lại mang một ý nghĩa sâu xa. Thường thì khi tham gia học về xác suất có Đk thật nhiều bạn hay lẫn lộn giữa (Pr(A|B)) và (Pr(B|A)) là hai số lượng như nhau, nhưng thực tiễn thì đôi lúc nó khác xa nhau thật nhiều.

Tham khảo

  • Larry A. Wasserman. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference.

  • Nguyễn Tiến Dũng & Đỗ Đức Thái. Nhập môn tân tiến xác suất thống kê. Sputnik Education, năm ngoái.

  • Nguyễn Đình Thúc & Đặng Hải Văn & Lê Phong . Thống kê máy tính. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2010.

  • John Tsitsiklis. 6.041 Probabilistic Systems Analysis and Applied Probability. Fall 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.

  • Wikipedia contributors. “Law of total probability.” Wikipedia, The Free Encyclopedia. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 29 Mar. 2018. Web. 26 Jul. 2018.

    • Reply
    9
    0
    Chia sẻ

    Review Share Link Down Biến cố trong xác suất là gì ?

    – Một số từ khóa tìm kiếm nhiều : ” đoạn Clip hướng dẫn Biến cố trong xác suất là gì tiên tiến và phát triển nhất , Chia Sẻ Link Down Biến cố trong xác suất là gì “.

    Thảo Luận vướng mắc về Biến cố trong xác suất là gì

    Bạn trọn vẹn có thể để lại Comment nếu gặp yếu tố chưa hiểu nghen.
    #Biến #cố #trong #xác #suất #là #gì Biến cố trong xác suất là gì