Mục lục bài viết

Kinh Nghiệm Hướng dẫn Các cách giải hệ phương trình Mới Nhất

Cập Nhật: 2021-12-19 10:20:11,Quý quý khách Cần kiến thức và kỹ năng về Các cách giải hệ phương trình. Bạn trọn vẹn có thể lại Thảo luận ở cuối bài để Admin được tương hỗ.

754

Một số phương pháp giải hệ phương trình bậc cao

Trong những đề thi Toán vào lớp chuyên, chọn, THPT chuyên hoặc những đề thi học viên giỏi Toán 9 thi thoảng vẫn xuất hiện cáchệ phương trình bậc cao.

Và dưới đấy là những phương pháp giải hệ PT bậc cao mà Trung tâm Gia sư Tp Hà Nội Thủ Đô muốn san sẻ với những em.

Tóm lược đại ý quan trọng trong bài

  • Một số phương pháp giải hệ phương trình bậc cao
  • Trong những đề thi Toán vào lớp chuyên, chọn, THPT chuyên hoặc những đề thi học viên giỏi Toán 9 thi thoảng vẫn xuất hiện cáchệ phương trình bậc cao.
  • A. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC
  • B. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y
  • C. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
  • D. BÀI TẬP TỰ GIẢI
  • Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng
  • Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số
  • Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức
  • Chuyên đề: Phương trình số 1, bậc hai một ẩn
  • Dạng toán: Rút gọn biểu thức chứa số
  • Bài tập giải bài toán bằng phương pháp lập phương trình hệ phương trình vào lớp 10 năm 2017
  • Một số bài tập toán rèn kỹ năng ôn thi vào 10 năm học 2018-2019

A. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC

Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến hóa theo những hằng đẳng thức:
Ta xét những ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải những hệ phương trình sau
a)$ left{ beginarraylleft( 3-x right)sqrt2-x-2ysqrt2y-1=0\sqrt[3]x+2+2sqrty+2=5endarray right.$ b)$ left{ beginarrayl2x^2y+y^3=2x^4+x^6\left( x+2 right)sqrty+1=left( x+1 right)^2endarray right.$

Giải
a) Điều kiện: $ xle 2,yge frac12$. Phương trình (1) tương tự:
$ left( 2-x right)sqrt2-x+sqrt2-x=left( 2y-1 right)sqrt2y-1+sqrt2y-1$
Đặt $ a=sqrt2-x,b=sqrt2y-1$. Ta có phương trình: $ displaystyle a^3+a=b^3+b$$ displaystyle left( a-b right)left( a^2+ab+b^2+1 right)=0$ . Do $ a^2+ab+b^2+1=left( a+fracb2 right)^2+frac3b^24+1>0UsDsuy ra phương trình cho ta$ displaystyle a=b$
$ sqrt2y-1=sqrt2-xLeftrightarrow x=3-2y$ thay vào ta có:$ sqrt[3]5-2y+2sqrty+2=5Leftrightarrow $ Đặt $ a=sqrt[3]5-2y;b=sqrty+2$ta có hệ phương trình sau:
$ left{ beginarrayla+2b=5\a^3+2b^2=9endarray right.Leftrightarrow left[ beginarrayla=1;b=2\a=frac-3-sqrt654;b=frac23+sqrt658\a=fracsqrt65-34;b=frac23-sqrt658endarray right.$.
$ Leftrightarrow left[ beginarrayly=2\y=frac233+23sqrt6532\y=frac233-23sqrt6532endarray right.$
Vậy hệ có nghiệm
$ left( x;y right)=left( -1;2 right),left( frac23sqrt65-18516;frac233-23sqrt6532 right),left( -frac23sqrt65+18516;frac233+23sqrt6532 right)$
b) Điều kiện: $ yge -1$.
Ta viết lại phương trình (1) thành: $ y^3-x^6+2x^2left( y-x^2 right)=0$
$ Leftrightarrow left( y-x^2 right)left( y^2+yx^2+x^4+2x^2 right)=0Leftrightarrow left[ beginarrayly=x^2\x=y=0endarray right.$
Dễ thấy $ x=y=0UsDkhông phải là nghiệm. Khi $ y=x^2$thay vào (2) ta được:
$ left( x+2 right)sqrtx^2+1=left( x+1 right)^2Rightarrow left( x+2 right)^2left( x^2+1 right)=left( x+1 right)^4Leftrightarrow left[ beginarraylx=sqrt3,y=3\x=-sqrt3,y=3endarray right.$
(thỏa mãn thị hiếu). Vậy hệ có nghiệm $ left( x;y right)=left( pm sqrt3;3 right)$.

Ví dụ 2: Giải những hệ phương trình sau
a)$ left{ beginarraylx^5+xy^4=y^10+y^6\sqrt4x+5+sqrty^2+8=6endarray right.$
b)$ left{ beginarrayl2x^3-4x^2+3x-1=2x^3left( 2-y right)sqrt3-2y\sqrtx+2=sqrt[3]14-xsqrt3-2y+1endarray right.$

Giải
a) Điều kiện: $ xge -frac54$.
Ta thấy $ y=0UsDkhông là nghiệm của hệ. chia hai vế của (1) cho $ y^5$ta được:
$ left( fracxy right)^5+fracxy=y^5+y$ . Đặt $ a=fracxy$ta có phương trình: $ a^5+a=y^5+yUsDsuy ra$ left( a-y right)left( a^4+a^3y+a^2y^2+ay^3+1 right)=0Leftrightarrow y=aLeftrightarrow x=y^2$
$ sqrt4x+5+sqrtx+8=6Leftrightarrow x=1Rightarrow y=pm 1$. Từ đó tính được$ y=pm 1$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $ left( x;y right)=left( 1;pm 1 right)$.
b) Điều kiện: $ xge -2;yle frac32$.Ta thấy khi thì hệ không tồn tại nghiệm.
Chia phương trình (1) cho $ x^2ne 0$:
$ left( 1 right)Leftrightarrow 2-frac4x+frac3x^2-frac1x^3=left( 4-2y right)sqrt3-2y$
$ Leftrightarrow left( 1-frac1x right)^3+left( 1-frac1x right)=left( sqrt3-2y right)^3+sqrt3-2y$
Đặt$ displaystyle a=1-frac1x,b=sqrt3-2y$ . Ta có $ a^3+a=b^3+b$ $ a=b$ $ sqrt3-2y=1-frac1x$.
Thay vào (2) ta được: $ x+2-sqrt[3]15-x=1Leftrightarrow x+1=sqrt[3]15-xLeftrightarrow x^3+3x^2+4x-14=0$.
$ x=7Rightarrow y=frac11198$. Vậy hệ có nghiệm $ left( x;y right)=left( 7;frac11198 right)$.

B. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn $ xUsDhoặc $ yUsDta trọn vẹn có thể nghĩ đến những hướng xử lý như sau:
* Nếu $ Delta $chẵn, ta giải $ xUsDtheo $ yUsDrồi thế vào phương trình còn sót lại của hệ để giải tiếp
* Nếu $ Delta $không chẵn ta thường xử lý Theo phong cách:
+ Cộng hoặc trừ những phương trình của hệ để tạo nên phương trình bậc hai có chẵn hoặc tạo thành những hằng đẳng thức
+ Dùng Đk $ Delta ge 0UsDđể tìm miền giá trị của biến $ x,y$. Sau đó định hình và nhận định phương trình còn sót lại trên miền giá trị $ displaystyle x,yUsDvừa tìm kiếm được:
Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ: Giải những hệ phương trình sau
a)$ left{ beginarraylxy+x+y=x^2-2y^2\xsqrt2y-ysqrtx-1=2x-2yendarray right.$
b)$ left{ beginarrayl2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0\4x^2-y^2+x+4=sqrt2x+y+sqrtx+4yendarray right.$

Giải
Xét phương trình (1) của hệ ta có:
$ xy+x+y=x^2-2y^2Leftrightarrow x^2-x(y+1)-2y^2-y=0$. Ta coi đấy là phương trình bậc 2 của $ xUsDthì ta có: $ Delta =(y+1)^2+8y^2+4y=(3y+1)^2$. Từ đó suy ra
$ left[ beginarraylx=fracy+1-(3y+1)2=-y\x=fracy+1+(3y+1)2=2y+1endarray right.$
Trường hợp 1: $ x=-y$. Từ phương trình của hệ ta có Đk: $ left{ beginarraylxge 1\yge 0endarray right.$suy ra phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: $ x=2y+1UsDthay vào phương trình thứ hai ta có:
$ beginarrayl(2y+1)sqrt2y-ysqrt2y=2y+2Leftrightarrow ysqrt2y+sqrt2y=2(y+1)\Leftrightarrow (y+1)left( sqrt2y-2 right)=0Leftrightarrow y=2Rightarrow x=5endarray$
Vậy hệ có một cặp nghiệm:$ (x;y)=(5;2)$
b) Xét phương trình (1) của hệ ta có:
$ 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0Leftrightarrow 2x^2+x(3-3y)+y^2-2y+1=0$
Coi đấy là phương trình bậc 2 của $ xUsDta có:
$ Delta =(3-3y)^2-8left( y^2-2y+1 right)=y^2-2y+1=(y-1)^2$
Suy ra$ left[ beginarraylx=frac3y-3-(y-1)4=fracy-12\x=frac3y-3+(y-1)4=y-1endarray right.$
Trường hợp 1: $ y=x+1$ thay vào phương trình (2) ta thu được:
$ beginarrayl3x^2-x+3=sqrt3x+1+sqrt5x+4\Leftrightarrow 3x^2-3x+(x+1-sqrt3x+1)+(x+2-sqrt5x+4)=0endarray$
$ left( x^2-x right)left[ 3+frac1x+1+sqrt3x+1+frac1x+2+sqrt5x+4 right]=0$
Do $ xge -frac13$nên$ 3+frac1x+1+sqrt3x+1+frac1x+2+sqrt5x+4>0$
$ x^2-x=0Leftrightarrow left[ beginarraylx=0\x=1endarray right.$
Trường hợp 2: $ y=2x+1UsDthay vào phương trình (2) ta thu được:
$ 3-3x=sqrt4x+1+sqrt5x+4Leftrightarrow sqrt4x+1+sqrt5x+4+3x-3=0$
Giải tương tự như trên ta được $ x=0$.
Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm:$ (x;y)=(0;1),(1;2)$

C. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp định hình và nhận định ta cần nắm chắc những bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, những phép biến hóa trung gian giữa những bất đẳng thức, thông qua đó để định hình và nhận định tìm ra quan hệ$ x,y$.
Ngoài ra ta cũng trọn vẹn có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó được bố trí theo hướng định hình và nhận định, so sánh thích hợp.

Ví dụ: Giải những hệ phương trình sau
a) $ left{ beginarraylfrac1sqrt1+2x^2+frac1sqrt1+2y^2=frac2sqrt1+2xy\sqrtxleft( 1-2x right)+sqrtyleft( 1-2y right)=frac29endarray right.$
b)$ left{ beginarraylxleft( x^2-y^2 right)+x^2=2sqrtleft( x-y^2 right)^3\76x^2-20y^2+2=sqrt[3]4xleft( 8x+1 right)endarray right.$

Giải
a) Điều kiện: $ 0le x,yle frac12$.
Đặt $ a=sqrt2x,b=sqrt2y;a,bin left[ 0;frac1sqrt2 right]$.
Ta có: $ VT=frac1sqrt1+a^2+frac1sqrt1+b^2le sqrt2left( frac11+a^2+frac11+b^2 right)$.
Ta sử dụng bổ đề với $ a,b>0UsDvà $ able 1UsDta có bất đẳng thức:
$ frac11+a^2+frac11+b^2le frac21+abLeftrightarrow fracleft( a-b right)^2left( ab-1 right)left( 1+ab right)left( 1+a^2 right)left( 1+b^2 right)le 0$ (đúng).
Vậy $ VTle frac2sqrt1+ab=VP$.
Đẳng thức xẩy ra khi $ x=y$. Thay vào(2) ta tìm kiếm được nghiệm của phương trình.
Nghiệm của hệ $ left( x;y right)=left( frac9-sqrt7336;frac9-sqrt7336 right),left( frac9+sqrt7336;frac9+sqrt7336 right)$.
b) Điều kiện: $ xge y^2ge 0$.
Phương trình (1) tương tự: $ x^3+xleft( x-y^2 right)-2sqrtleft( x-y^2 right)^3=0$.
Đặt $ sqrtx-y^2=uUsDphương trình (1) thành:
$ displaystyle x^3+xu^2-2u^3=0Leftrightarrow x=uLeftrightarrow y^2=x-x^2$
Thay vào (2) ta được: $ 96x^2-20x+2=sqrt[3]32x^2+4x$.
Ta có$ 96x^2-20x+2=sqrt[3]32x^2+4x=sqrt[3]1.1.left( 32x^2+4x right)le frac32x^2+4x+23$
$ Leftrightarrow 3left( 96x^2-20x+2 right)le 32x^2+4x+2Leftrightarrow left( 16x-2 right)^2le 0Leftrightarrow x=frac18Rightarrow y=pm fracsqrt78$
Từ đó ta có những nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm $ left( x;y right)=left( frac18;pm fracsqrt78 right)$.

D. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Câu 1: Giải hệ phương trình$ left{ beginarrayl2x^2-y^2+xy-5x+y+2=sqrty-2x+1-sqrt3-3x\x^2-y-1=sqrt4x+y+5-sqrtx+2y-2endarray right.$
Câu 2:Giải hệ phương trình$ left{ beginarraylleft| xy-2 right|=4-y^2(1)\x^2-xy+1=0(2)endarray right.$
Câu 3:Giải hệ phương trình$ displaystyle left{ beginarrayl8x-y=6\x^2-y=-6endarray right.$
Câu 4:Giải hệ phương trình:$ displaystyle left{ beginarraylfrac32x-y=6\frac1x+2y=-4endarray right.$
Câu 5:Tìm $ displaystyle x;yUsDthỏa mãn thị hiếu :$ displaystyle left{ beginarrayl(x+sqrtnăm ngoái+x^2)(y+sqrtnăm ngoái+y^2)=năm ngoái\3x^2+8y^2-12xy=23endarray right.$

Ôn thi Toán vào lớp 10 – Tags: hệ phương trình, hệ pt

  • Chuyên đề: Hệ phương trình đối xứng

  • Chuyên đề: Phương trình bậc hai chứa tham số

  • Chuyên đề: Phương trình có chứa căn thức

  • Chuyên đề: Phương trình số 1, bậc hai một ẩn

  • Dạng toán: Rút gọn biểu thức chứa số

  • Bài tập giải bài toán bằng phương pháp lập phương trình hệ phương trình vào lớp 10 năm 2017

  • Một số bài tập toán rèn kỹ năng ôn thi vào 10 năm học 2018-2019

Review Chia Sẻ Link Download Các cách giải hệ phương trình ?

– Một số Keywords tìm kiếm nhiều : ” Review Các cách giải hệ phương trình tiên tiến và phát triển nhất , Chia Sẻ Link Download Các cách giải hệ phương trình “.

Thảo Luận vướng mắc về Các cách giải hệ phương trình

Bạn trọn vẹn có thể để lại phản hồi nếu gặp yếu tố chưa hiểu nha.
#Các #cách #giải #hệ #phương #trình