Kinh Nghiệm Hướng dẫn Cách đưa phương trình bậc 3 về bậc 2 Chi Tiết

Cập Nhật: 2021-12-30 10:03:09,You Cần tương hỗ về Cách đưa phương trình bậc 3 về bậc 2. Bạn trọn vẹn có thể lại Comment ở cuối bài để Ad đc tương hỗ.

672

A. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT
1. Phương pháp phân tích nhân tử
Nếu phương trình bậc ba $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ có nghiệm $x = r$ thì có nhân tử $(x r)$, do đó trọn vẹn có thể phân tích: $ax^3 + bx^2 + cx + d$ $ = left( x r right)left[ ax^2 + left( b + ar right)x + c + br + ar^2 right].$
Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là: $frac b ra pm sqrt b^2 4ac 2abr 3a^2r^2 2a.$

2. Phương pháp Cardano
Xét phương trình bậc ba $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ $(1).$
Đặt $x = y fraca3$, phương trình $(1)$ luôn biến hóa được về dạng chính tắc: $y^3 + py + q = 0$ $(2)$, trong số đó: $p. = b fraca^23$, $q = c + frac2a^3 9ab27.$
Ta chỉ xét $p.,q ne 0$ vì nếu $p.=0$ hoặc $q=0$ thì đưa về trường hợp đơn thuần và giản dị.
Đặt $y=u+v$ thay vào phương trình $(2)$, ta được: $left( u + v right)^3 + p.left( u + v right) + q = 0$ $ Leftrightarrow u^3 + v^3 + left( 3uv + p. right)left( u + v right) + q = 0$ $(3).$
Chọn $u$, $v$ sao cho $3uv+p.=0$ $(4).$
Như vậy, để tìm $u$ và $v$, từ $(3)$ và $(4)$ ta có hệ phương trình: $left{ beginarrayl
u^3 + v^3 = q\
u^3v^3 = fracp.^327
endarray right.$
Theo định lí Vi-ét, $u^3$ và $v^3$ là hai nghiệm của phương trình: $X^2 + qX fracp.^327 = 0$ $(5).$
Đặt $Delta = fracq^24 + fracp.^327.$
Khi $Δ > 0$, phương trình $(5)$ có nghiệm: $u^3 = fracq2 + sqrt Delta $, $v^3 = fracq2 sqrt Delta .$
Như vậy phương trình $(2)$ sẽ đã có được nghiệm thực duy nhất là: $y = sqrt[3] fracq2 + sqrt Delta + sqrt[3] fracq2 sqrt Delta .$
Khi $Δ=0$, phương trình $(5)$ có nghiệm kép: $u = v = sqrt[3]fracq2.$
Khi đó, phương trình $(2)$ có hai nghiệm thực, trong số đó một nghiệm kép: $y_1 = 2sqrt[3] fracq2$, $y_2 = y_3 = sqrt[3]fracq2.$
Khi $Δ < 0$, phương trình $(5)$ có nghiệm phức.
Gọi $u_0^3$ là một nghiệm phức của $(5)$, $v_0^3$ là giá trị tương ứng sao cho $u_0v_0 = fracp.3.$
Khi đó, phương trình $(2)$ có ba nghiệm phân biệt: $y_1 = u_0 + v_0$, $y_2 = frac12left( u_0 + v_0 right) + ifracsqrt 3 2left( u_0 v_0 right)$, $y_3 = frac12left( u_0 + v_0 right) ifracsqrt 3 2left( u_0 v_0 right).$

3. Phương pháp lượng giác hoá
Một phương trình bậc ba, nếu có $3$ nghiệm thực, khi màn biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ tương quan đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách màn biểu diễn khác đơn thuần và giản dị hơn, dựa vào hai hàm số $cos$ và $arccos.$
Cụ thể, từ phương trình $t^3 + pt + q = 0$ $(*)$, ta đặt $t = ucos alpha $ và tìm $u$ để trọn vẹn có thể đưa $(*)$ về dạng: $4cos ^3alpha 3cos alpha cos3alpha = 0.$
Muốn vậy, ta chọn $u = 2sqrt frac p.3 $ và chia $2$ vế của $(*)$ cho $fracu^34$ để được: $4cos ^3alpha 3cos alpha frac3q2psqrt frac 3p. = 0$ $ Leftrightarrow cos 3alpha = frac3q2psqrt frac 3p. .$
Vậy $3$ nghiệm thực là: $t_i = 2sqrt frac p.3 cos left[ frac13arccos left( frac3q2psqrt frac 3p right) frac2ipi 3 right]$ với $i = 0, 1, 2.$
Lưu ý rằng nếu phương trình có $3$ nghiệm thực thì $p. < 0$ (điều ngược lại không đúng) nên công thức trên không tồn tại số phức.

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải phương trình: $x^3 + x^2 + x = frac13.$

Phương trình không tồn tại nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0.$
Đại lượng $3x^2 + 3x + 1$ gợi ta đến hằng đẳng thức quen thuộc sau: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = left( x + 1 right)^3.$
Do đó phương trình tương tự: $left( x + 1 right)^3 = 2x^3$ $ Leftrightarrow x + 1 = sqrt[3]2x.$
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x = frac 11 + sqrt[3]2.$

Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khôn khéo biến hóa đẳng thức. Tuy nhiên, những bài đơn thuần và giản dị như vậy này sẽ không tồn tại nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano:

Ví dụ 2. Giải phương trình: $x^3 3x^2 + 4x + 11 = 0.$

Đặt $x = y + 1$, thế vào phương trình đầu bài, ta được: $y^3 + 1.y + 13 = 0.$
Tính $Delta = 13^2 + frac427.1^3$ $ = frac456727 ge 0.$
Áp dụng công thức Cardano suy ra: $y = sqrt[3]frac 13 + sqrt frac456727 2$ $ + sqrt[3]frac 13 sqrt frac456727 2.$
Suy ra: $x = sqrt[3]frac 13 + sqrt frac456727 2$ $ + sqrt[3]frac 13 sqrt frac456727 2 + 1.$

Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên, công thức này sẽ không hề dễ nhớ và chỉ được sử dụng trong những kì thi học viên giỏi. Vì thế, có lẽ rằng toàn bộ chúng ta sẽ nỗ lực tìm một con phố hợp thức hóa những lời giải trên, đó là phương pháp lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng $x^3 + px + q = 0$ với $p. <0$ và có $1$ nghiệm thực:

Ví dụ 3. Giải phương trình: $x^3 + 3x^2 + 2x 1 = 0.$

Đầu tiên đặt $x=y-1$ ta đưa về phương trình $y^3 y 1 = 0$ $(1)$, đến đây ta dùng lượng giác như sau:
Nếu $left| y right| < frac2sqrt 3 $, suy ra $left| fracsqrt 3 2y right| < 1$, do đó tồn tại $alpha in left[ 0,pi right]$ sao cho $fracsqrt 3 2y = cos alpha .$
Phương trình tương tự $frac83sqrt 3 cos ^3alpha frac2sqrt 3 cos alpha 1 = 0$ $ Leftrightarrow cos 3alpha = frac3sqrt 3 2$ (vô nghiệm).
Do đó $left| y right| ge frac2sqrt 3 $. Như vậy luôn tồn tại $t$ thỏa $y = frac1sqrt 3 left( t + frac1t right)$ $(*).$ Thế vào $(1)$ ta được phương trình $fract^33sqrt 3 + frac13sqrt 3 t^3 1 = 0$, việc giải phương trình này sẽ không khó, xin dành riêng cho bạn đọc.
Ta tìm kiếm được nghiệm: $x = frac1sqrt 3 left[ sqrt[3]frac12left( 3sqrt 3 sqrt 23 right) + frac1sqrt[3]frac12left( 3sqrt 3 sqrt 23 right) right] 1.$

Nhận xét: Câu hỏi đưa ra là: Sử dụng phương pháp trên ra làm thế nào?. Muốn vấn đáp, ta cần làm sáng tỏ hai yếu tố:
+ Vấn đề 1. Có luôn tồn tại $t$ thoả mãn cách đặt trên?
Đáp án là không. Coi $(*)$ là phương trình bậc hai theo $t$ ta sẽ tìm kiếm được Đk $left| y right| ge frac2sqrt 3 .$ Thật ra trọn vẹn có thể tìm nhanh bằng phương pháp dùng bất đẳng thức AM GM: $left| y right| = left| frac1sqrt 3 left( t + frac1t right) right|$ $ = frac1sqrt 3 left( left right) ge frac2sqrt 3 .$
Vậy trước hết ta phải chứng tỏ $(1)$ không tồn tại nghiệm $left| y right| < frac2sqrt 3 .$
+ Vấn đề 2. Vì sao có số $frac2sqrt 3 $?
Ý tưởng của ta là từ phương trình $x^3+px+q=0$ đưa về một phương trình trùng phương theo $t^3$ qua cách đặt $x = kleft( t + frac1t right).$ Khai triển và giống hệt thông số ta được $k = sqrt frac p.3 .$
Sau đấy là phương trình dạng $x^3+px+q=0$ với $p. < 0$ và có $3$ nghiệm thực:

Ví dụ 4. Giải phương trình: $x^3 x^2 2x + 1 = 0.$

Đặt $y = x frac13$, ta được phương trình: $y^3 frac73y + frac727 = 0$ $(*).$
Với $left| y right| < frac2sqrt 7 3$ thì $left| frac3y2sqrt 7 right| < 1$, do đó tồn tại $alpha in left[ 0;pi right]$ sao cho $cos alpha = frac3y2sqrt 7 $ hay $y = frac2sqrt 7 cos alpha 3.$
Thế vào $(*)$, ta được: $cos 3alpha = fracsqrt 7 14$, đấy là phương trình lượng giác cơ bản.
Dễ dàng tìm kiếm được ba nghiệm của phương trình ban sơ: $x_1 = frac2sqrt 7 3cos left[ fracarccos left( fracsqrt 7 14 right)3 right] + frac13$, $x_2,3 = frac2sqrt 7 3cos left[ frac pm arccos left( fracsqrt 7 14 right)3 + frac2pi 3 right] + frac13.$
Do phương trình bậc ba có tối đa $3$ nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp $left| y right| ge frac2sqrt 7 3.$

Nhận xét: Ta cũng trọn vẹn có thể chứng tỏ phương trình vô nghiệm khi $left| y right| ge frac2sqrt 7 3$ bằng phương pháp đặt $y = fracsqrt 7 3left( t + frac1t right)$ tựa như ví dụ 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm.
Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ $y = sqrt frac p.3 left( t + frac1t right)$ $(*)$ như sau:
+ Nếu phương trình có $1$ nghiệm thực, chứng tỏ phương trình vô nghiệm khi $left| y right| < 2sqrt frac p.3 $, trường hợp còn sót lại dùng $(*)$ để lấy về phương trình trùng phương theo $t.$
+ Nếu phương trình có $3$ nghiệm thực, chứng tỏ phương trình vô nghiệm khi $left| y right| ge 2sqrt frac p.3 $ bằng phép đặt $(*)$ (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo $t$). Khi $left| y right| le 2sqrt frac p.3 $ thì đặt $fracleft2sqrt frac p.3 = cos alpha $, từ đó tìm $α$, suy ra $3$ nghiệm $y.$
Còn khi $p.>0$ không khó chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất:

Ví dụ 5. Giải phương trình: $x^3 + 6x + 4 = 0.$

Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt $x = kleft( t frac1t right)$ để lấy về phương trình trùng phương. Để ý phép đặt này sẽ không cần Đk của $x$, vì nó tương tự $kleft( t^2 1 right) xt = 0.$ Phương trình trên luôn có nghiệm theo $t$.
Như vậy từ phương trình đầu ta được: $k^3left( t^3 frac1t^3 right) 3k^3left( t frac1t right)$ $ + 6kleft( t frac1t right) + 4 = 0.$
Cần chọn $k$ thỏa $3k^3 = 6k$ $ Rightarrow k = sqrt 2 .$
Vậy ta có lời giải bài toán như sau:
Đặt $x = sqrt 2 left( t frac1t right)$, ta có phương trình: $2sqrt 2 left( t^3 frac1t^3 right) + 4 = 0$ $ Leftrightarrow t^6 1 + sqrt 2 t^3 = 0$ $ Leftrightarrow t_1,2 = sqrt[3]frac 1 pm sqrt 3 sqrt 2 .$
Lưu ý rằng $t_1t_2 = 1$ theo định lí Vi-ét nên ta chỉ nhận được một giá trị của $x$ là: $x = t_1 + t_2$ $ = sqrt 2 left( sqrt[3]frac 1 + sqrt 3 sqrt 2 + sqrt[3]frac 1 sqrt 3 sqrt 2 right).$

Ví dụ 6. Giải phương trình $4x^3 3x = m$ với $left| m right| > 1.$

Nhận xét rằng khi $left| x right| le 1$ thì $left| VT right| le 1 < left| m right|$ (sai) nên $left| x right| ge 1.$ Vì vậy ta trọn vẹn có thể đặt $x = frac12left( t + frac1t right)$, ta được phương trình: $frac12left( t^3 + frac1t^3 right) = m.$
Từ đó: $t = sqrt[3]m pm sqrt m^2 1 $ $ Rightarrow x = frac12left( sqrt[3]m + sqrt m^2 1 + sqrt[3]m sqrt m^2 1 right).$
Ta chứng tỏ đấy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Giả sử phương trình có nghiệm $x_0$ thì $x_0 notin left[ 1;1 right]$ vì $left| x_0 right| > 1.$ Khi đó: $4x^3 3x = 4x_0^3 3x_0$ $ Leftrightarrow left( x x_0 right)left( 4x^2 + 4xx_0 + 4x_0^2 3 right) = 0.$
Xét phương trình: $4x^2 + 4xx_0 + 4x_0^2 3 = 0.$
Ta có: $Delta = 12 12x_0^2 < 0$ nên phương trình bậc hai này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x = frac12left( sqrt[3]m + sqrt m^2 1 + sqrt[3]m sqrt m^2 1 right).$

Reply
7
0
Chia sẻ

đoạn Clip hướng dẫn Chia Sẻ Link Down Cách đưa phương trình bậc 3 về bậc 2 ?

– Một số Keywords tìm kiếm nhiều : ” Video full hướng dẫn Cách đưa phương trình bậc 3 về bậc 2 tiên tiến và phát triển nhất , Chia Sẻ Link Download Cách đưa phương trình bậc 3 về bậc 2 “.

Giải đáp vướng mắc về Cách đưa phương trình bậc 3 về bậc 2

Bạn trọn vẹn có thể để lại Comments nếu gặp yếu tố chưa hiểu nhé.
#Cách #đưa #phương #trình #bậc #về #bậc